Калькулятор высоты равнобедренного треугольника
Расчёт высоты равнобедренного треугольника по сторонам и углам с пошаговым решением
Калькулятор высоты равнобедренного треугольника
Бесплатный онлайн-калькулятор находит высоту равнобедренного треугольника пятью способами: по двум сторонам, по стороне и углу или по основанию и углу. Кроме высоты он сразу выдаёт площадь S, периметр P, оба угла треугольника и проверяет существование с помощью неравенства треугольника.
Главная формула — теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике, который образует высота с половиной основания: h = √(a² − (b/2)²), где a — боковая сторона, b — основание. Через углы используются sin, cos, tg и ctg от половинного угла при вершине.
- По a и b: h = √(a² − (b/2)²)
- По a и углу при основании α: h = a · sin(α)
- По a и углу при вершине β: h = a · cos(β/2)
- По b и α: h = (b/2) · tg(α)
- По b и β: h = (b/2) · ctg(β/2)
Свойства равнобедренного треугольника
Две боковые стороны равны (a = a), углы при основании равны (α = α). Сумма углов 180°, поэтому β = 180° − 2α и α = (180° − β) / 2 — зная любой из углов, второй находится без дополнительных данных.
Главное свойство для расчёта: высота, проведённая к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам и делит угол при вершине на два равных угла β/2. Это превращает половину равнобедренного треугольника в прямоугольный, к которому применима теорема Пифагора.
Частный случай — равносторонний треугольник (a = b), тогда h = a · √3 / 2 ≈ 0,866 · a и S = a² · √3 / 4. Вырожденный случай — a = b/2, треугольник схлопывается в отрезок, высота равна нулю. Если a < b/2 — треугольник невозможен.
Как найти высоту через угол
Если известна боковая сторона и угол при основании α: высота h = a · sin(α), потому что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой a синус угла α равен h / a.
Если известна боковая сторона и угол при вершине β: высота h = a · cos(β/2), потому что половинный угол β/2 в прямоугольном треугольнике с гипотенузой a даёт cos(β/2) = h / a.
Если известно основание и угол при основании α: h = (b/2) · tg(α). Если основание и угол при вершине β: h = (b/2) · ctg(β/2) = (b/2) / tg(β/2).
Где применяется
Стропильная система двускатной крыши — это равнобедренный треугольник: основание — ширина дома, боковые стороны — длины стропил, высота — высота конька. Через формулу h = √(a² − (b/2)²) считается высота конька, через площадь S = b · h / 2 — площадь фронтона для обшивки сайдингом или вагонкой.
В школьной программе высота равнобедренного треугольника — базовая задача 7–9 классов и одно из обязательных умений на ОГЭ и ЕГЭ. В ландшафтном дизайне — расчёт треугольных клумб, площадок, мощений. В машиностроении — фермы, кронштейны, подкосы.
Пример: фронтон двускатной крыши
Дом шириной 10 м, длина ската крыши 6 м. Нужно посчитать высоту конька и площадь фронтона для обшивки.
Боковая сторона a = 6 м (скат), основание b = 10 м (ширина дома)
Проверка: a > b/2? 6 > 5 — да, треугольник существует
Высота: h = √(6² − 5²) = √(36 − 25) = √11 ≈ 3,32 м
Площадь фронтона: S = b × h / 2 = 10 × 3,32 / 2 = 16,6 м²
Угол ската: α = arctg(h / (b/2)) = arctg(3,32 / 5) ≈ 33,6°
Высота конька 3,32 м, площадь одного фронтона 16,6 м². На два фронтона нужно 33,2 м² сайдинга плюс 10% запас на подрезку и обрешётку.
Знаете ли вы?
В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, — это один и тот же отрезок. В произвольном треугольнике это три разных отрезка из одной вершины.
Фронтон Парфенона — равнобедренный треугольник: основание 30,9 м, высота около 3,5 м. Угол наклона ската всего 11° — характерная пологая греческая крыша.
Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного. Все углы по 60°, высота равна a · √3 / 2 ≈ 0,866 · a, площадь равна a² · √3 / 4 ≈ 0,433 · a².
Признак существования: a > b/2. При a = b/2 треугольник вырождается в отрезок (высота 0). При a < b/2 треугольника не существует — основание длиннее, чем сумма боковых.
Высота конька двускатной крыши = высота равнобедренного треугольника, у которого основание — ширина дома, а боковые стороны — длины стропил. Эта же формула применяется к фронтонам мансард.
Равнобедренный прямоугольный треугольник (β = 90°): высота равна половине основания (h = b/2), боковая сторона a = b · √2 / 2, площадь S = b² / 4.
Готовые расчёты высоты по a и b
| Боковая a | Основание b | Высота h | Площадь S | Угол при вершине β |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 6 | 4,00 | 12,0 | 73,7° |
| 5 | 8 | 3,00 | 12,0 | 106,3° |
| 10 | 12 | 8,00 | 48,0 | 73,7° |
| 10 | 16 | 6,00 | 48,0 | 106,3° |
| 13 | 10 | 12,00 | 60,0 | 45,2° |
| 6 | 6 | 5,20 | 15,6 | 60,0° (равностор.) |
| 10 | 10 | 8,66 | 43,3 | 60,0° (равностор.) |
Высота через угол при основании α
| Боковая a | Угол α | Высота h | Основание b |
|---|---|---|---|
| 10 | 30° | 5,00 | 17,32 |
| 10 | 45° | 7,07 | 14,14 |
| 10 | 60° | 8,66 | 10,00 |
| 10 | 75° | 9,66 | 5,18 |
| 10 | 80° | 9,85 | 3,47 |
Быстрая проверка результата
Высота всегда меньше боковой стороны: h < a. Если калькулятор показал h > a — где-то ошибка во входных данных. Если a ≤ b/2 — треугольник не существует, проверьте, не перепутаны ли «основание» и «боковая сторона». Для остроугольного треугольника h > b/2, для тупоугольного (β > 90°) h < b/2.
Как пользоваться калькулятором
Выберите способ расчёта
Из пяти вариантов: a + b, a + α, a + β, b + α, b + β. Под каждым показана формула.
Введите два значения
Например, боковую сторону 10 и основание 12. Десятичные пишите через запятую или точку: 10,5 или 10.5.
Посмотрите результат
Высота, площадь, периметр, оба угла и второе неизвестное (a или b) считаются сразу, без кнопки «рассчитать».
Скопируйте или сохраните
Кнопка «Копировать» переносит в буфер высоту, площадь, периметр, углы и пошаговый расчёт по формуле.
Готовые примеры
a = 5, b = 6
h = √(25 − 9) = √16 = 4. Площадь 12, периметр 16, углы 53,1° и 73,7°.
a = 13, b = 10
h = √(169 − 25) = √144 = 12. Классическая пифагорова тройка 5-12-13.
Крыша: a = 7, b = 12 м
h = √(49 − 36) = √13 ≈ 3,61 м. Угол ската ≈ 31°, площадь фронтона 21,6 м².
Равносторонний a = b = 8
h = √(64 − 16) = √48 ≈ 6,93. Проверка: 8 · √3 / 2 = 6,93 ✓. Площадь 27,7.
Через угол: a = 10, α = 60°
h = 10 · sin(60°) = 10 · 0,866 = 8,66. Основание b = 2 · 10 · cos(60°) = 10. Равносторонний.
a = 4, b = 9 — существует?
Проверка a > b/2: 4 > 4,5? Нет — треугольник невозможен.
Частые вопросы
Как найти высоту равнобедренного треугольника?
Как проверить, существует ли треугольник?
Как найти высоту через угол?
Чем равнобедренный треугольник отличается от обычного?
Как найти площадь без высоты?
Высота к боковой стороне — другая формула?
Подойдёт ли эта формула для расчёта крыши?
Полезная информация
Все расчёты выполняются в браузере — данные не передаются на сервер.
Главная формула: h = √(a² − (b/2)²). Площадь: S = b · h / 2. Периметр: P = 2a + b.
Через углы: h = a · sin(α) = a · cos(β/2) = (b/2) · tg(α) = (b/2) · ctg(β/2).