Что значит кинетическая энергия и от чего она зависит

Кинетическая энергия — это энергия, которой тело обладает вследствие движения в выбранной системе отсчёта. Для поступательного движения её находят по формуле E_к = mv² / 2: массу умножают на квадрат скорости и делят пополам. Поэтому одинаковые по массе тела при разных скоростях могут иметь сильно различающиеся энергии. В расчёт подставляют массу в килограммах и скорость в метрах в секунду. Ниже разберём смысл формулы, перевод единиц и случаи, когда одного числа скорости недостаточно.

Движение, которое может совершать работу#

Движущееся тело способно изменить движение другого тела: сдвинуть предмет или деформировать пружину. Такие изменения связывают с передачей энергии. В механике работу совершают силы при перемещении, а энергия помогает количественно описать результат их действия.

Согласно учебнику Перышкина «Физика. 7 класс», в §63 показан шарик, который скатывается по наклонной плоскости и передвигает деревянный брусок. Движение шарика позволяет совершить работу. Увеличение скорости или массы меняет результат опыта.

Слово «кинетическая» происходит от греческого «кинема», то есть «движение», как поясняет учебник Перышкина. Встречаются обозначения E_к, K и T. Разные буквы в учебниках обозначают одну физическую величину; её смысл задаётся определением.

Шарик на рисунке катится, поэтому наряду с движением его центра происходит вращение. К этим двум составляющим вернёмся отдельно. Пока для формулы mv² / 2 достаточно представить тело материальной точкой, чьими размерами в данной задаче пренебрегают.

У движущегося тела энергия описывает состояние в данный момент. Работа описывает процесс передачи энергии. Сравнение похоже на запас воды и её перетекание: запас относится к состоянию, переданный объём к изменению. В физике обе величины выражают в джоулях.

Как прочитать формулу и подготовить единицы?#

Формула E_к = mv² / 2 содержит массу m и модуль скорости v. Модуль означает величину скорости без указания направления. Сначала скорость возводят в квадрат, затем умножают на массу и делят на 2.

Квадрат относится только к скорости. Запись m · v² отличается от (m · v)². Во втором случае в квадрат попала бы ещё и масса, что дало бы другую величину с неправильной размерностью.

Для получения джоулей используйте систему СИ: массу в килограммах, длину в метрах и время в секундах. Тогда единица результата равна кг · м² / с². Это и есть джоуль — сокращённо Дж.

1. Переведите массу в килограммы
   Разделите граммы на 1 000. Например, 250 г = 0,25 кг.
2. Переведите скорость в метры в секунду
   Разделите км/ч на 3,6. Например, 18 км/ч = 5 м/с.
3. Вычислите квадрат скорости
   Для 5 м/с получается 25 м²/с². Сохраняйте точность до последнего действия.
4. Умножьте на половину массы
   Подпишите результат в джоулях. В килоджоули его переводят делением на 1 000.

Условный пример: поступательно движущееся тело массой 250 г имеет скорость 18 км/ч. После перевода единиц m = 0,25 кг, v = 5 м/с. Энергия E_к = 0,25 · 5² / 2 = 0,25 · 25 / 2 = 6,25 / 2 = 3,125 Дж.

Если подставить число 18 сразу в формулу, квадрат скорости окажется завышен в 3,6² = 12,96 раза. Поэтому ошибка перевода скорости усиливается при возведении в квадрат. Масса и скорость требуют отдельных проверок.

При сложном исходном обозначении скорости сначала проверьте перевод в метры в секунду через конвертер скорости. Согласуйте единицу с формулой, затем выполняйте возведение в квадрат.

На калькуляторе ToolFox можно выбрать скорость в м/с или км/ч, а массу указать в килограммах. Для проверки этого примера введите 0,25 кг и 18 км/ч. Ожидаемый результат: 3,125 Дж.

В числе результата должно быть столько значащих цифр, сколько оправдано исходными данными. Для знакомства с арифметикой можно сохранить точное десятичное значение, а в измерительной задаче округление задаётся точностью измерений. Промежуточные округления лучше отложить.

Почему скорость влияет сильнее массы?#

При фиксированной скорости энергия прямо пропорциональна массе. При фиксированной массе она пропорциональна квадрату скорости. Это различие видно, если сравнить множители в формуле, не выполняя полный расчёт для каждого нового набора.

Увеличение массы в 3 раза умножает энергию на 3. Увеличение скорости в 3 раза умножает её на 3² = 9. Если одновременно поменялись обе величины, их вклады перемножаются.

Для двух состояний отношение энергий равно E₂ / E₁ = (m₂ / m₁) · (v₂ / v₁)². Такая запись подходит при положительной исходной энергии. Если первое тело покоилось, сравнение «во сколько раз» не получится из-за деления на ноль.

Для графика возьмём массу 2 кг. Тогда E_к = 2 · v² / 2 = v². При скоростях 0; 1; 2; 3 м/с получаются энергии 0; 1; 4; 9 Дж. Это значения формулы для выбранной массы.

На графике получается ветвь параболы. Между 1 и 2 м/с энергия увеличилась на 3 Дж, а между 2 и 3 м/с уже на 5 Дж. Одинаковая прибавка скорости требует всё большего увеличения кинетической энергии.

В обратную сторону связь работает через квадратный корень. Чтобы увеличить энергию в 2 раза при прежней массе, скорость нужно умножить на √2 — приблизительно 1,414. Удваивать скорость для такого результата избыточно.

Для повседневной оценки полезно сравнение без больших чисел: сначала найдите, во сколько раз изменилась масса, затем отдельно возведите отношение скоростей в квадрат и перемножьте множители. Порядок удерживает оба вклада.

Два расчёта из открытых учебников#

OpenStax показывает применение формулы на движущемся грузе и бегущем спортсмене. Эти задачи дают разные масштабы энергии и требуют одинакового порядка действий. Числа взяты из условий учебников, а арифметические переходы раскрыты ниже.

Груз на конвейере

В примере 7.2 учебника College Physics груз массой 30 кг движется со скоростью 0,5 м/с. Квадрат скорости: 0,5² = 0,25. Произведение массы на квадрат скорости: 30 · 0,25 = 7,5. После деления пополам E_к = 7,5 / 2 = 3,75 Дж.

Масса кажется большой, но скорость мала. Груз движется поступательно, поэтому вычисление относится к движению груза целиком. Вращение роликов конвейера относится к другим телам и в эти 3,75 Дж не включено.

Число 0,25 меньше 0,5: квадрат положительной дроби, меньшей 1, становится ещё меньше. Ошибки здесь часто возникают из-за привычки считать, что возведение в квадрат всегда увеличивает число. Для дробей это неверно.

Спортсмен как материальная точка

В примере 7.6 учебника University Physics спортсмен массой 80 кг бежит со скоростью 10 м/с. Получаем v² = 100 м²/с². Затем E_к = 80 · 100 / 2 = 8 000 / 2 = 4 000 Дж = 4 кДж.

Это энергия поступательного движения тела как целого в принятом описании. Расход энергии организма при беге включает другие процессы и из этих 4 кДж напрямую не вычисляется. Механическая энергия движения и потраченная организмом энергия отвечают на разные вопросы.

Сравните два результата: у груза 3,75 Дж, у спортсмена 4 000 Дж. Наблюдаемая разница объясняется и массой, и скоростью. Для проверки формулы не требуется приписывать эти числа конкретному участнику соревнований или измеренному конвейеру: это опубликованные условия задач.

Как найти массу или скорость по энергии?#

Из E_к = mv² / 2 можно получить v = √(2E_к / m) или m = 2E_к / v². Сначала выполните преобразование буквами, затем подставляйте числа в согласованных единицах. Это уменьшает вероятность потерять множитель 2 или квадратный корень.

При поиске скорости умножаем энергию на 2 и делим на массу. Получается квадрат скорости. Только после извлечения корня появляется сама скорость. Положительный корень соответствует её модулю.

Задание для расчёта: энергия равна 36 Дж, масса равна 2 кг. Тогда v² = 2 · 36 / 2 = 36 м²/с². Скорость v = √36 = 6 м/с. Подстановка обратно возвращает E_к = 2 · 6² / 2 = 36 Дж.

Если известны 225 Дж и скорость 3 м/с, масса m = 2 · 225 / 3² = 450 / 9 = 50 кг. В знаменателе стоит квадрат заданной скорости, а не скорость после деления пополам.

При известной нулевой скорости и нулевой кинетической энергии масса таким способом не определяется. Одинаковый нулевой результат получится у покоящихся тел разной массы. Нужны другие сведения о теле.

При заданной энергии меньше нуля классическая задача с положительной массой не имеет решения. Возможная причина в том, что в условии указали изменение энергии: оно действительно бывает отрицательным. Сначала уточните обозначение величины.

Работа сил меняет энергию движения#

Суммарная работа всех сил, действующих на материальную точку, равна изменению её кинетической энергии в инерциальной системе отсчёта. Запись имеет вид A = E_к2 − E_к1. Инерциальной называют систему, в которой свободное от воздействия тело сохраняет постоянную скорость.

Положительная суммарная работа увеличивает энергию движения. Отрицательная уменьшает. Если сумма работ равна нулю, модуль скорости в конце равен модулю скорости в начале, хотя направление движения может меняться. Теорема связывает работу именно с квадратом модуля скорости.

Согласно электронному учебнику «Открытая Физика», это утверждение справедливо и для переменной силы. Простое выражение A = F · s применяют отдельно при постоянной силе, направленной вдоль перемещения. В общем случае работа рассчитывается с учётом направления и изменения силы.

Продолжим задачу OpenStax с грузом 30 кг. В примере 7.3 его толкают силой 120 Н на расстоянии 0,8 м. Против движения действует сила трения 5 Н. Работа толкающей силы: 120 · 0,8 = 96 Дж. Работа трения: −5 · 0,8 = −4 Дж.

Общий итог: A = 96 − 4 = 92 Дж. Сила тяжести и сила опоры в этой задаче перпендикулярны горизонтальному перемещению, поэтому их работы равны нулю. Изменение энергии груза составляет именно 92 Дж.

Начальная энергия из предыдущего расчёта равна 3,75 Дж. Следовательно, конечная энергия E_к2 = 3,75 + 92 = 95,75 Дж. В примере 7.4 учебника отсюда находят скорость: v = √(2 · 95,75 / 30) = √(191,5 / 30) ≈ 2,53 м/с.

Если бы за конечную энергию приняли только работу 92 Дж, начальное движение груза исчезло бы из расчёта. Теорема описывает приращение, поэтому начальный запас надо сохранить. При разгоне из состояния покоя он равен нулю, и выражение сокращается.

В задаче о падении из состояния покоя с известной высоты сначала можно найти скорость через калькулятор свободного падения. Условие такого расчёта: сопротивлением воздуха пренебрегают. Полученную скорость подставляют в формулу энергии для заданной массы.

Трение переводит часть механической энергии во внутреннюю энергию взаимодействующих тел. В этом примере груз и поверхность могут нагреваться. Кинетическая энергия груза при этом всё равно растёт, поскольку положительная работа толчка больше отрицательной работы трения.

Относительно кого тело движется?#

Значение кинетической энергии зависит от выбранной системы отсчёта, потому что в формулу входит скорость относительно этой системы. Одно тело может покоиться относительно пассажира и двигаться относительно платформы. Оба описания относятся к одному предмету.

Книга лежит на столике вагона. Для сидящего рядом читателя её скорость равна нулю. Для наблюдателя на платформе книга перемещается вместе с поездом. Слова «книга неподвижна» требуют уточнения: относительно чего?

Условный пример: масса книги 0,5 кг, скорость равномерно движущегося вагона относительно платформы 20 м/с. В системе вагона поступательная энергия книги равна 0. В системе платформы E_к = 0,5 · 20² / 2 = 0,5 · 400 / 2 = 100 Дж.

Пассажир не обязан удерживать книгу от «ста джоулей» при обычном чтении. Книга и его руки движутся вместе. Для описания взаимодействия пассажира с книгой удобно выбрать систему вагона, где исчезает общее поступательное движение.

Та же мысль помогает со знаками. Если вдоль выбранной оси скорость записана как −5 м/с, её модуль равен 5 м/с. Квадрат компоненты (−5)² равен 25. Направление изменилось, а энергия при прежней массе сохранилась.

У скорости есть направление — у кинетической энергии направления нет. Поэтому две одинаковые тележки, движущиеся навстречу с равными по модулю скоростями, имеют одинаковые положительные энергии. Их энергии складываются; противоположные направления не уничтожают этот запас.

Поступательное движение и вращение#

Формула mv² / 2 описывает материальную точку или поступательное движение тела. Для вращения вокруг неподвижной оси используют другую запись: E_вр = Iω² / 2. Здесь I означает момент инерции относительно оси, ω угловую скорость.

Момент инерции учитывает распределение массы относительно оси вращения. Две детали одинаковой массы могут иметь разные моменты инерции. Удалённая от оси масса даёт больший вклад, поэтому вращение требует данных о форме тела.

Методические указания ННГАСУ по теоретической механике разделяют эти случаи: поступательное движение, вращение вокруг оси и движение системы точек. Энергия системы складывается из энергий её частей. Для протяжённого тела движения отдельных частей могут различаться.

У катящегося шарика центр движется, а сам шарик вращается. Поэтому подстановка скорости центра в mv² / 2 даёт поступательную часть. Полная энергия дополнительно включает вращательную составляющую. Именно так нужно читать первый рисунок статьи.

Для школьных задач с материальной точкой полезно сначала проверить формулировку. Если вращение не рассматривается, обычной формулы достаточно. Если задача прямо описывает катящееся колесо и просит полную энергию, понадобятся сведения о моменте инерции.

Есть и другая граница: классическое выражение применяется при скоростях, намного меньших скорости света. Согласно OpenStax, для околосветового движения требуется релятивистская формула. Подменять ею школьный расчёт для груза на конвейере оснований нет.

Ошибки в подстановке и толковании ответа#

Число в джоулях получает смысл только вместе с исходными данными и выбранным движением. Для проверки полезно отделить арифметическую ошибку от ошибки физической модели. Правильный квадрат скорости не исправит неверно выбранную систему отсчёта.

Если задача относится к одному моменту, определите массу и мгновенную скорость. Если описывает переход, отметьте начало и конец. Это простое разделение сразу показывает, нужна одна подстановка или две.

Получится решить без подсказки?#

Пять заданий проверяют единицы, зависимость от скорости и обратное преобразование формулы. Ответ каждого задания раскрывается отдельно. Перед вычислением подпишите, какая величина ищется.

Темы, на которых появились затруднения, можно сопоставить с программами занятий в разделе «Физика для школьников» каталога курсов. Для этой задачи нужны механика, работа сил и преобразование единиц.

Вывод#

Кинетическая энергия описывает движение относительно выбранной системы отсчёта; для поступательного движения E_к = mv² / 2. При расчёте 0,25 кг и 5 м/с дают 3,125 Дж: сначала приводят единицы, затем возводят скорость в квадрат. Введите собственные массу и скорость в калькулятор и сопоставьте результат с этой последовательностью действий.