Калькулятор логарифмов

Одно поле на всё: впишите логарифм или целое выражение с логарифмами — калькулятор сам разберёт запись, покажет строкой, как он её понял, и выдаст ответ вместе с решением по шагам.

Ответ даётся точным числом там, где точное число существует: log₈(2) — это 1/3, а не 0,333, а log₃(81) — ровно 4. Точность здесь доказывается целочисленной проверкой равенства, а не получается округлением: 3⁴ = 81 проверяется в целых числах, поэтому в ответе не остаётся хвостов вроде 4,000000000000001.

Если точного значения нет, калькулятор об этом говорит прямо и объясняет причину. Например, log₂(3) точным быть не может: у числа 3 в разложении есть множитель 3, которого нет у двойки, и никакая степень двойки его не создаст. Тогда показывается приближённое значение — ровно с тем числом знаков, за которое можно ручаться.

Запись понимается в том виде, в котором её обычно и пишут. Основание можно указать сразу после слова log, поставить нижним индексом или отделить пробелом — все три варианта равнозначны.

После ввода калькулятор показывает строку «Прочитано как» — это то, что он собирается считать. Строка нужна не для красоты: запись без скобок иногда допускает второе прочтение, и лучше увидеть выбранное, чем получить правдоподобный, но не тот ответ.

Логарифм отвечает на один вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить число. Запись log₂(8) = 3 означает ровно 2³ = 8. Разные названия логарифмов отличаются только основанием.

ln — натуральный логарифм, его основание — число e ≈ 2,718281828. Оно появляется везде, где что-то растёт или убывает непрерывно: сложные проценты, остывание, радиоактивный распад. ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln(e³) = 3.

lg — десятичный логарифм с основанием 10. По нему устроены шкалы, где шаг означает изменение в десять раз: pH, децибелы, звёздные величины. lg(100) = 2, lg(1000) = 3, lg(0,1) = −1.

log₂ (в старых учебниках lb) — двоичный логарифм. Он отвечает на вопрос «сколько раз число нужно разделить пополам»: log₂(1024) = 10, потому что 2¹⁰ = 1024. Отсюда и оценка сложности алгоритмов O(log n) у бинарного поиска.

Само значение логарифма — да, и это обычное дело. При основании больше единицы логарифм отрицателен, когда аргумент лежит между нулём и единицей: lg(0,1) = −1, log₂(1/8) = −3. Ничего необычного здесь нет, отрицательная степень просто означает деление: 2⁻³ = 1/8.

А вот аргумент отрицательным быть не может. Не существует степени, в которую можно возвести положительное основание и получить отрицательное число или ноль, поэтому log₂(−4) и log₂(0) не определены — калькулятор скажет об этом словами, а не покажет пустое поле.

Основание тоже ограничено: оно должно быть положительным и не равным единице. Единица в любой степени остаётся единицей, поэтому уравнение 1ᵗ = 8 решений не имеет, а значит и логарифма по основанию 1 не существует.

Сумма и разность: log(a·b) = log a + log b, log(a/b) = log a − log b — при условии, что основания одинаковы. Именно поэтому log₃(162) − log₃(2) равно ровно 4: разность сворачивается в log₃(81), а 81 = 3⁴.

Множитель уходит в показатель: k · logₐ(x) = logₐ(xᵏ). Так 2·log₂(3) превращается в log₂(9).

Основное логарифмическое тождество: a^(logₐ b) = b. Число в степени собственного логарифма «снимает» логарифм, поэтому 2^(3·log₂3) = 2^(log₂27) = 27, а 5^(2·log₅3) = 9.

Переход к новому основанию: logₐ(x) = ln x / ln a = lg x / lg a. Из неё же следует правило деления логарифмов: log_c(x) / log_c(y) = log_y(x).

Частные случаи, которые полезно помнить наизусть: logₐ(1) = 0 при любом основании, logₐ(a) = 1, logₐ(aᵏ) = k.

В науке: шкала Рихтера (землетрясения), децибелы (звук), pH (кислотность) — все логарифмические. Увеличение на 1 единицу шкалы Рихтера означает рост энергии примерно в 31,6 раза.

В IT: сложность алгоритмов O(log n) — бинарный поиск, сбалансированные деревья. Биты информации — это log₂ количества состояний. В финансах через логарифм считают время удвоения вклада.