Калькулятор логарифмов
Вычисление логарифмов по любому основанию, натуральных, десятичных и двоичных логарифмов
Калькулятор логарифмов онлайн
Калькулятор вычисляет логарифм числа по любому основанию. Поддерживает натуральный логарифм (ln, основание e), десятичный (lg, основание 10) и логарифм по произвольному основанию.
Логарифм отвечает на вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить число?» Например, log₂(8) = 3, потому что 2³ = 8.
- Логарифм по любому основанию
- Натуральный логарифм (ln, основание e ≈ 2,718)
- Десятичный логарифм (lg, основание 10)
- Двоичный логарифм (log₂)
- Пошаговое объяснение расчёта
Свойства логарифмов
Основные свойства: log(a×b) = log a + log b, log(a/b) = log a − log b, log(aⁿ) = n × log a. Эти правила позволяют упрощать сложные выражения.
Формула перехода к другому основанию: logₐ(x) = ln(x) / ln(a) = lg(x) / lg(a). Калькулятор использует её для вычисления логарифмов по любому основанию.
Логарифм определён только для положительных чисел (x > 0) с положительным основанием, не равным 1 (a > 0, a ≠ 1). Логарифм 1 по любому основанию = 0, логарифм основания = 1.
Где применяются логарифмы
В науке: шкала Рихтера (землетрясения), децибелы (звук), pH (кислотность) — все логарифмические. Увеличение на 1 единицу шкалы Рихтера означает рост энергии в ~31,6 раз.
В IT: сложность алгоритмов O(log n) — бинарный поиск, сбалансированные деревья. Биты информации — это log₂ количества состояний. В финансах: расчёт времени удвоения вклада через логарифм.
Пример: за сколько лет удвоится вклад
Вклад под 8% годовых с капитализацией. За сколько лет сумма удвоится?
Формула: t = ln(2) / ln(1 + r), где r = 0,08
Вводим: ln(2) = 0,6931, ln(1,08) = 0,07696
Результат: t = 0,6931 / 0,07696 ≈ 9,01 лет
Проверка: 1,08⁹ ≈ 1,999 ≈ 2 ✓
Вклад удвоится за ~9 лет. Быстрая оценка: правило 72 → 72/8 = 9 лет (совпадает!).
Знаете ли вы?
Логарифмы изобрёл шотландский математик Джон Непер в 1614 году. Он потратил 20 лет на вычисление таблиц логарифмов — они заменили умножение сложением и ускорили астрономические расчёты в десятки раз.
Логарифмическая линейка — аналоговый калькулятор на основе логарифмов — использовалась инженерами 350 лет (1620–1970). Полёт на Луну Аполлон-11 рассчитывали в том числе на логарифмической линейке.
Число e ≈ 2,71828 — основание натурального логарифма — встречается повсюду: рост популяций, радиоактивный распад, нормальное распределение, сложные проценты. Бернулли открыл его, изучая банковские вклады.
Человеческое восприятие яркости и громкости — логарифмическое. Чтобы звук казался в 2 раза громче, его физическая мощность должна увеличиться в 10 раз. Поэтому децибелы — логарифмическая шкала.
В теории информации Шеннона энтропия (количество информации) определяется через логарифм. 1 бит = log₂(2). Например, в байте 8 бит = log₂(256) возможных состояний.
Шкала pH = −lg[H⁺]. pH 7 — нейтральная среда, pH 3 — кислота в 10 000 раз кислее pH 7. Каждый шаг pH — разница в 10 раз по концентрации.
Часто используемые логарифмы
| Выражение | Значение | Пояснение |
|---|---|---|
| log₂(8) | 3 | 2³ = 8 |
| log₁₀(100) | 2 | 10² = 100 |
| log₁₀(1000) | 3 | 10³ = 1000 |
| ln(e) | 1 | e¹ = e |
| ln(1) | 0 | e⁰ = 1 |
| log₂(1024) | 10 | 2¹⁰ = 1024 (1 КБ) |
| lg(2) | 0,301 | Часто используется |
| ln(2) | 0,693 | Правило удвоения |
Правило 72
Чтобы быстро оценить время удвоения при процентном росте, разделите 72 на процент. Вклад под 6% удвоится за ~12 лет (72/6). Это приближение формулы t = ln(2)/ln(1+r).
Как вычислить логарифм
Введите число
Укажите число, логарифм которого хотите вычислить. Число должно быть положительным.
Выберите основание
e — натуральный (ln), 10 — десятичный (lg), 2 — двоичный (log₂) или любое другое положительное число, не равное 1.
Получите результат
Калькулятор покажет значение логарифма и формулу расчёта.
Примеры расчёта
📚 Школьная задача
log₃(81) = ? Ответ: 4, потому что 3⁴ = 81.
💰 Время удвоения вклада
Вклад под 10%. t = ln(2)/ln(1,1) = 0,693/0,0953 ≈ 7,3 года.
💻 Информатика
Сколько бит нужно для кодирования 256 символов? log₂(256) = 8 бит = 1 байт.
🔊 Уровень звука
Мощность звука выросла в 1000 раз. Прирост в дБ: 10 × lg(1000) = 30 дБ.
Частые вопросы
Что такое логарифм простыми словами?
Чем отличаются ln, lg и log?
Может ли логарифм быть отрицательным?
Почему логарифм 0 не существует?
Данные отправляются на сервер?
Полезная информация
Все расчёты в браузере — данные не отправляются на сервер.
Калькулятор поддерживает точность до 10 знаков после запятой.
Комментарии (1)
📐Похожие инструменты
Калькулятор антилогарифмов
Точное вычисление антилогарифмов с любым основанием и история расчетов
Калькулятор экспоненты
Вычислите экспоненту e^x онлайн: что такое экспонента в математике, график, производная и интеграл от экспоненты
Калькулятор факториала
Быстрое вычисление факториала с пошаговым отображением процесса
Калькулятор двойного факториала
Расчет двойного факториала для четных и нечетных чисел
Четные и нечетные числа
Определение четности чисел и анализ диапазонов с подсчетом статистики
Округление чисел
Округление чисел онлайн — калькулятор округления до целого, десятых, сотых, десятков, сотен. Округлить число онлайн, правила округления
Калькулятор количества разрядов числа
Определение количества разрядов и полный анализ структуры натурального числа
Состав многозначного числа
Анализ позиционного состава числа с разбивкой по классам и разрядам