В статистике медиана — это середина набора чисел, расположенных по порядку. При нечётном количестве берут центральное значение, при чётном обычно находят среднее двух центральных. Например, у ряда 3; 5; 8; 12; 20 медиана равна 8. Она помогает описать типичное положение среди наблюдений, особенно когда крайние значения заметно отличаются от остальных. Но медиана не показывает весь разброс и не заменяет вопрос о том, какие данные собраны. Ниже речь о статистике; геометрическое значение слова пояснено в FAQ.
Как найти середину после сортировки?
Сначала упорядочьте значения по величине. Сортировка означает расположение чисел от меньшего к большему. После этого ищите центральную позицию: число, которое стояло посередине исходной записи, может оказаться совсем в другом месте упорядоченного ряда.
Условный учебный пример: данные записаны так — 12; 3; 20; 8; 5. В исходной записи третьим стоит 20, но это ещё не медиана.
-
Упорядочьте значенияПолучится 3; 5; 8; 12; 20. Записаны те же пять чисел, изменён только порядок.
-
Найдите центральную позициюСлева от третьей позиции остаются два числа, справа тоже два.
-
Возьмите значение на этой позицииТретье число равно 8. Это медиана упорядоченного набора.
Согласно учебнику OpenStax Principles of Data Science, при нечётном числе наблюдений медиану берут из середины упорядоченных данных. Здесь важны и порядок, и количество наблюдений.
Для пяти значений номер центральной позиции можно записать так: (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3. Ответом задачи остаётся число на этой позиции.
Что делать при двух центральных значениях?
При чётном количестве центральных позиций две. В обычном вычислении медианы числового набора берут среднее арифметическое значений на этих позициях. Среднее арифметическое двух чисел означает их сумму, разделённую на два.
Условный пример: 3; 5; 8; 12; 20; 30. Центральные значения 8 и 12, потому что слева и справа от этой пары остаётся по два числа.
Вычисление: (8 + 12) / 2 = 20 / 2 = 10. Среднее найдено только для центральной пары; остальные значения не участвуют в этом сложении.
Согласно официальной справке Microsoft о функции MEDIAN, при чётном количестве она также вычисляет среднее двух центральных чисел. Это же правило использует калькулятор в карточке статьи.
Долгое ожидание меняет показатели по-разному
Медиана чувствительна к положению значений в упорядоченном наборе. Среднее арифметическое учитывает величину каждого наблюдения. Поэтому один очень долгий случай может заметно увеличить среднее, хотя центральная позиция останется прежней.
Возьмём условные времена ожидания: 10; 12; 13; 15; 100 минут. Это учебные данные, а не результаты обследования службы доставки или очереди.
Для медианы достаточно центрального значения: 13 минут. Чтобы найти среднее, сначала 10 + 12 = 22, затем 22 + 13 = 35. Далее 35 + 15 = 50 и 50 + 100 = 150. Среднее равно 150 / 5 = 30 минут.
| Показатель | Что он сообщает в примере |
|---|---|
| Медиана | Центр упорядоченных времён ожидания. |
| Среднее арифметическое | Суммарное время, делённое на количество наблюдений. Долгий случай влияет на сумму. |
По данным справочника NIST, крайние значения могут сильнее влиять на среднее, чем на медиану. Выбор показателя зависит от исследовательского вопроса, а не от желания получить меньшее число.
Сравнить результат на своём наборе поможет калькулятор среднего арифметического. Сохраняйте одни и те же наблюдения для обоих расчётов.
Повторы и нули сохраняют свои места
Повторяющиеся значения учитываются столько раз, сколько они встретились. Удалив одинаковые числа, вы измените количество наблюдений и иногда саму медиану. Ноль тоже является числом; его нельзя заменять отсутствием записи без причины.
| Условный набор | Середина |
|---|---|
| 1; 1; 1; 2; 9 | Третье значение равно 1. Повторы остаются на своих позициях. |
| −5; 0; 7 | Центральное значение равно 0. Отрицательные числа сортируют по обычному числовому порядку. |
| 4 | Единственное значение равно 4, оно же медиана этого набора. |
В первом наборе нет чисел строго меньше медианы. Поэтому фраза «ровно половина значений меньше и ровно половина больше» при повторах не работает.
Корректная общая формулировка: не менее половины наблюдений не больше медианы и не менее половины не меньше её. Для практического вычисления проще пользоваться центральными позициями.
Пустой набор требует отдельной обработки: без чисел вычислять середину нечего. Пустая ячейка и записанный ноль могут означать разные вещи в исходных данных.
Когда медиана не отвечает на вопрос?
Одной медианы недостаточно, если важно знать суммарную нагрузку, редкие задержки или различия между группами. Два набора могут иметь одинаковую середину при совершенно разных крайних значениях. Поэтому вместе с результатом сохраняют исходные данные или другие характеристики.
Вернёмся к условным временам ожидания. Заменим крайнее значение 100 на 1000 минут, сохранив остальные. Медиана останется 13, поскольку центральная позиция и её значение не изменились.
Ошибка: считать, что низкая медиана исключает долгие ожидания. Центральное значение не описывает размер самых больших задержек. Для такого вопроса нужно рассматривать и крайние наблюдения.
Результат также зависит от состава данных. Медиана небольшой удобной подборки не становится автоматически характеристикой всех клиентов, поездок или заказов.
Для системного изучения показателей и интерпретации данных есть раздел курсов по статистике.
Прикладной расчёт по суммам покупок разобран отдельно в статье что такое средний чек.
Проверьте расчёт перед выводом
Выполните три условных задания. Во всех примерах используются отдельные числовые наблюдения, а при чётном количестве применяется правило среднего двух центральных.
- Найдите медиану набора 9; 2; 4.
- Найдите медиану набора 2; 4; 10; 20.
- Можно ли убрать повтор из набора 1; 1; 7 перед вычислением?
Ответы с объяснениями
- После сортировки получится 2; 4; 9. Центральное число равно 4.
- Центральные значения 4 и 10. Медиана: (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7.
- Нет. У исходного набора медиана 1. После удаления одного повтора получится другой набор: его медиана (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4.
В калькулятор удобнее переносить по одному наблюдению на строку, особенно если есть десятичные значения. После ввода проверьте число распознанных наблюдений и упорядоченный ряд. Это помогает заметить потерю значения раньше, чем будет сделан вывод.
Вывод
Медиана описывает середину упорядоченного набора: для пяти чисел из первого примера она равна 8, для шести из второго равна 10. Сохраняйте повторы и выбирайте показатель под вопрос. Хорошо посчитанная середина всё ещё может скрывать важные крайние случаи.