Произведение чисел — это результат их умножения: например, 4 · 3 = 12, где числа 4 и 3 называют множителями. Произведением также называют само выражение 4 · 3, а число 12 является его значением. Для натуральных чисел смысл удобно показать равными группами: три группы по четыре предмета дают двенадцать предметов. Разберём запись, научимся отличать её от суммы и проверять делением. Отдельно посмотрим, почему умножение не всегда увеличивает исходное число.
Как читать запись 4 · 3 = 12?
Прочитайте её так: «четыре умножить на три равно двенадцати». Первое и второе числа являются множителями, или сомножителями. Результат вычисления находится после знака равенства.
Согласно учебнику Фоксфорда об умножении натуральных чисел, словом «произведение» называют и выражение со знаком умножения, и его значение. Поэтому перед решением полезно посмотреть, что именно просят записать.
| Формулировка задания | Что записать |
|---|---|
| Запишите произведение чисел 7 и 5 | 7 · 5. |
| Найдите значение произведения 7 и 5 | 7 · 5 = 35. |
| Найдите сумму 7 и 5 | 7 + 5 = 12. Это другое действие. |
В школьных примерах умножение обозначают точкой · или крестиком ×. Оба знака в записи числового произведения обозначают одно действие. Если в условии уже дан знак умножения, его нельзя заменять плюсом ради более знакомого вычисления.
Равные группы вместо длинной суммы
Представьте условную задачу: на трёх тарелках лежит по четыре ягоды. Чтобы узнать общее количество, можно сложить 4 + 4 + 4. Три одинаковых слагаемых удобно заменить записью 4 · 3.
Первое число здесь показывает, сколько ягод в группе, второе — сколько таких групп взяли. Согласно определению в учебнике Фоксфорда, a · b при натуральном b означает сумму из b слагаемых, равных a.
Если на тарелках лежат 4, 4 и 5 ягод, запись 4 · 3 уже не описывает всё количество: сумма равна 13. Умножать «по четыре» можно только те группы, где действительно по четыре предмета.
Вопрос «что такое произведение чисел» обычно возникает именно при переходе от сложения к умножению. Но смысл повторения одинаковых слагаемых относится к этому начальному объяснению. Для дробных и отрицательных чисел действие расширяют, сохраняя его свойства.
Когда уверенно представляете группы, переходите к тренажёру после лида. В нём можно выбрать изучаемые множители и способ ответа. Произвольное выражение с дробями этот тренажёр не вычисляет.
Как посчитать удобнее?
Не всегда нужно выполнять действия строго слева направо. Если выражение состоит только из произведения чисел, множители можно переставлять и группировать, сохраняя все исходные числа. Так легче получить круглое промежуточное значение.
Согласно разделу «Свойства умножения» учебника Фоксфорда, переместительное свойство разрешает менять множители местами, а сочетательное — менять их группировку. В записи 16 · 5 · 2 удобно сначала получить 5 · 2 = 10.
- Найдите удобную паруВ произведении 16 · 5 · 2 это числа 5 и 2.
- Объедините её скобками16 · (5 · 2) = 16 · 10.
- Закончите вычисление16 · 10 = 160. Все три исходных множителя использованы по одному разу.
Для двух чисел перестановка тоже сохраняет ответ: 4 · 3 = 3 · 4 = 12. При этом предметная картинка может измениться: три группы по четыре предмета и четыре группы по три устроены по-разному.
Не переносите правило группировки на смешанное выражение без проверки знаков. Например, 2 + 3 · 4 = 14, а (2 + 3) · 4 = 20. Добавленные скобки здесь изменили порядок действий и само выражение.
После отдельных примеров можно заниматься по школьной программе: доступен раздел курсов по математике для начальной школы. Сопоставьте содержание занятий с теми действиями, которые уже изучены.
Почему ответ не всегда больше множителей?
На первых примерах легко привыкнуть, что после умножения число увеличивается. Однако произведение зависит от значений множителей: единица сохраняет другое число, ноль даёт нулевой результат, а положительная дробь меньше единицы уменьшает положительное число.
| Пример | Что произошло с числом 8 |
|---|---|
| 8 · 3 = 24 | Взяли три группы по восемь: результат больше 8. |
| 8 · 1 = 8 | Значение сохранилось. |
| 8 · 0 = 0 | Получился ноль. |
| 8 · 0,5 = 4 | Взяли половину восьми: результат меньше 8. |
Правила нуля и единицы приведены в учебнике Фоксфорда о свойствах умножения. Для дробей слово «произведение» сохраняет значение результата действия. Но представить второй множитель 0,5 как количество целых одинаковых групп уже недостаточно.
Если в задании появились обычные дроби, алгоритм вычисления разбирается в статье об умножении дробей. Знакомое название результата остаётся тем же, меняется способ работы с числами.
Деление возвращает один из множителей
Проверка должна вернуть исходное число. Согласно учебнику Фоксфорда о свойствах деления, деление является обратным действием к умножению. Поэтому для 4 · 3 = 12 можно вычислить 12 : 3 и сравнить ответ с 4.
Так же находят пропуск в равенстве x · 3 = 12: x = 12 : 3 = 4. После нахождения числа подставьте его обратно. Запись 4 · 3 = 12 подтверждает, что пропуск заполнен верно.
Оговорка о нуле обязательна: делить на него нельзя. Из 0 · x = 0 невозможно единственным образом определить x, потому что равенство верно при любом числовом значении x. Механически делить произведение на известный множитель здесь не получится.
- Перепроверьте, что использованы нужные множители.
- Разделите результат на один из ненулевых множителей.
- Сопоставьте частное с другим множителем и подставьте число обратно.
Для обратных примеров есть тренажёр деления. Если знакомые ответы уже получаются быстро, чередование действий помогает проверить понимание их связи.
Вывод
Произведение находят умножением, а одинаковые группы помогают понять его смысл на натуральных числах. Отличайте выражение от его значения, сохраняйте множители при удобной группировке и проверяйте результат делением на ненулевое число. С дробями не ожидайте обязательного увеличения ответа.