Разность — это результат вычитания: например, из 12 вычли 5 и получили 7. Разностью также называют само выражение 12 − 5, а число 7 называют её значением. Вычитание помогает узнать, сколько осталось после удаления части или на сколько одно количество больше другого. Порядок чисел при этом важен: нельзя переставлять их ради удобного ответа. На простых примерах покажем, как читать запись, выбирать действие в задаче и проверять найденное число обратным сложением.
Разберите запись по именам
В примере 12 − 5 = 7 у каждого числа своя роль. Из 12 вычитают, поэтому 12 называют уменьшаемым. Число 5, которое вычитают, называют вычитаемым. После знака равенства стоит значение разности, то есть результат.
Согласно учебнику Фоксфорда о компонентах вычитания, слово «разность» употребляют и для записи со знаком минус. Поэтому задания «запиши разность» и «найди значение разности» могут требовать разных действий.
| Что просят | Что записать |
|---|---|
| Разность чисел 18 и 6 | 18 − 6. |
| Значение разности 18 и 6 | 18 − 6 = 12. |
Обычно разность чисел называют в том порядке, в котором они даны. В выражении «разность 18 и 6» первым идёт уменьшаемое. Если условие отдельно задаёт другой порядок, следуйте ему.
Чтобы запомнить термины, проговорите действие целиком: «из уменьшаемого вычитаю вычитаемое». Это надёжнее догадки «уменьшаемое всегда самое большое»: после знакомства с отрицательными числами такая догадка перестаёт работать.
Как из задачи получить вычитание?
Сначала выясните, какие количества сравнивают и что требуется найти. Одни и те же числа могут описывать удалённую часть или два самостоятельных набора. Действие получится одинаковым, но смысл ответа будет разным.
Возьмём условный пример с карандашами. В одном наборе 12 карандашей, в другом 5. Чтобы узнать, на сколько в первом наборе больше, сопоставьте предметы попарно: после пяти пар останутся семь карандашей без пары.
| Условная задача | Действие и смысл ответа |
|---|---|
| Было 12 карандашей, 5 отдали. Сколько осталось? | 12 − 5 = 7. Осталось 7 карандашей. |
| В первом наборе 12, во втором 5. На сколько в первом больше? | 12 − 5 = 7. В первом на 7 карандашей больше. |
| В первом наборе 12, во втором 5. Во сколько раз в первом больше? | Это уже вопрос на деление, а не на разность. |
Слова «на сколько» обычно указывают на сравнение вычитанием. Слова «во сколько раз» требуют другого действия. Не выбирайте знак только потому, что в условии встретилось слово «больше».
Если величины измерены, сначала приведите их к одинаковым единицам. Например, из 1 метра нельзя просто вычесть цифру 30, означающую сантиметры: 1 м = 100 см, затем 100 − 30 = 70 см.
Что меняется при перестановке чисел?
Меняется результат. Для сложения существует правило перестановки слагаемых, а переносить его на вычитание нельзя. В целых числах 5 − 3 = 2, но 3 − 5 = −2.
Отрицательное число находится слева от нуля на числовой прямой. Числовая прямая — это линия, где значения отмечены по порядку с одинаковым расстоянием между соседними целыми числами. Вычитание положительного числа означает движение влево.
Согласно учебнику Фоксфорда о вычитании рациональных чисел, вычесть число можно прибавлением противоположного. Противоположные числа имеют одинаковое расстояние до нуля и разные знаки. Поэтому 3 − 5 = 3 + (−5) = −2.
В начальной школе пример 3 − 5 может выходить за изучаемую область чисел. Это зависит от программы: на раннем этапе вычитают только там, где получается неотрицательный ответ. После введения целых чисел отрицательный результат становится обычным.
Проверка полезна и для нуля. Из равных чисел получается нулевая разность: 8 − 8 = 0. Если вычитают ноль, исходное число сохраняется: 8 − 0 = 8.
Проверка сложением
Прибавьте к найденной разности вычитаемое: должно получиться уменьшаемое. Согласно разделу «Свойства вычитания» учебника Фоксфорда, равенство a − b = c связано с равенством b + c = a. Буквы здесь просто заменяют конкретные числа.
- Выполните вычитаниеВозьмите отдельный учебный пример: 54 − 27 = 27.
- Верните вычтенноеСложите результат с вычитаемым: 27 + 27 = 54.
- Сопоставьте с первым числомПолучено 54, исходное уменьшаемое. Если числа не совпали, проверьте вычисление и переписывание условия.
Тот же способ помогает найти пропуск в равенстве. Если неизвестно уменьшаемое в записи x − 5 = 7, сложите 7 + 5 = 12, затем подставьте: 12 − 5 = 7.
Если неизвестно вычитаемое в 12 − x = 7, из уменьшаемого вычтите значение разности: x = 12 − 7 = 5. Подстановка даёт исходное верное равенство. Роли неизвестного разные, поэтому правило «всегда сложи два известных числа» не подходит.
После разбора можно потренироваться на двузначных числах в инструменте после лида. Он выдаёт примеры с положительным результатом и предлагает варианты ответа. Тренажёр не предназначен для введения произвольного примера с отрицательной разностью.
Когда двузначные примеры освоены, переходите к тренировке вычитания трёхзначных чисел. Сохраняйте привычку проверять ответы сложением, даже если вычисление получается быстро.
Для занятий по школьной программе есть раздел «Математика для начальной школы» каталога курсов. Сопоставьте программу с тем этапом счёта, который уже изучен.
Где правило «большее минус меньшее» не подходит?
Для ответа «на сколько больше» обычно вычитают меньшее количество из большего. Но это частная задача сравнения, а не универсальное определение вычитания. Если задано выражение 3 − 5, менять его на 5 − 3 нельзя.
Ещё одна ловушка связана со словом «разница». В бытовом сравнении часто имеют в виду положительное расстояние между двумя величинами. В математическом выражении a − b задан порядок; ответ может быть отрицательным. Если условие неясно, сначала определите, что именно сравнивается.
Не путайте разность и сумму. В задаче «было 12, отдали 5» сложение 12 + 5 дало бы 17, то есть увеличило число предметов. Проверка смысла должна идти вместе с проверкой арифметики.
Вывод
Разность находят вычитанием с сохранением порядка чисел; значение результата проверяют обратным сложением. В записи 12 − 5 = 7 проверка выглядит как 7 + 5 = 12. Для предметной задачи этого достаточно, а отрицательный ответ следует разбирать в той области чисел, которую уже изучают.