Рациональные числа можно записать дробью p/q, где p и q целые, а q не равен нулю. Под это определение подходят 7, −2, 0 и 0,75: у каждого найдётся такая запись. Даже бесконечная десятичная дробь бывает рациональной, если в ней повторяется период. Проверять нужно точное значение, поскольку округление на экране может скрыть его свойства. Ниже показано, как предъявить нужную дробь, распознать ограничения и проверить свой ответ на учебных примерах.
Целое и дробь принадлежат одной группе?
Да, целые числа входят в рациональные. Чтобы это проверить, достаточно поставить под целым числом знаменатель 1. Например, 7 = 7/1, −2 = −2/1. У нуля работает та же проверка: 0 = 0/1. Внешнее отсутствие дробной черты не меняет принадлежность числа множеству, поскольку определение требует возможности дробной записи, а не обязательного присутствия дробной черты.
Согласно учебнику OpenStax Prealgebra, рациональное число допускает представление отношением двух целых чисел при ненулевом знаменателе. Верхнее число дроби называют числителем, а нижнее знаменателем, который показывает, на сколько равных частей разделена единица в обычном объяснении положительной дроби. Для школьной записи можно выбирать положительный знаменатель: минус переносится в числитель или перед всей дробью.
Записи 3/(−4), −3/4 и −(3/4) выражают одно значение. Поэтому определение через натуральный знаменатель и целый числитель согласуется с определением через два целых. Если знаменатель отрицательный, умножьте обе части дроби на −1. Число от этого не изменится.
Буквой Q обозначают множество рациональных чисел, Z целые, N натуральные. Знак ∈ читают «принадлежит», поэтому −2 ∈ Q утверждает принадлежность конкретного числа, а запись Z ⊂ Q показывает включение целой группы. Это значит, что каждое целое рационально, но среди рациональных есть и нецелые.
Не нужно выбирать для числа только одну самую широкую категорию. Число 7 одновременно натуральное, целое и рациональное. Дробь 1/2 рациональна, но целой не становится. Утверждения «число целое» и «число рациональное» вполне могут быть верны вместе.
Если путаются названия вложенных групп, поможет разбор натуральных чисел и их назначения. Здесь же ориентир другой: можно ли предъявить точную дробь нужного вида. Это проверка представимости, а не длины числа и не количества написанных знаков.
Разные записи не создают новых чисел
Число и запись числа нужно различать. Половину можно обозначить как 1/2, 2/4 или 0,5. Все три записи выражают одно значение. Дробная черта и десятичная запятая помогают показать это значение разными способами. Число остаётся прежним.
В лекции НИУ ВШЭ о рациональных числах это различие формулируется через эквивалентные дроби. Эквивалентными называют дроби, которые выражают одно число. Для равенства a/b и c/d при ненулевых знаменателях должно выполняться a × d = b × c.
Условный пример: сравним 2/4 и 1/2. Перекрёстные произведения: 2 × 2 = 4 и 4 × 1 = 4. Равенство подтвердилось. Можно проверить иначе: сократить числитель и знаменатель 2/4 на два. Получится 1/2.
Умножение числителя и знаменателя на одно ненулевое целое сохраняет значение дроби. Поэтому для одного рационального числа можно получить множество дробных записей. Несократимая дробь удобна тем, что у числителя и знаменателя нет общего делителя больше 1.
Сокращение не означает вычеркнуть одинаковые цифры по внешнему сходству. Например, 6/15 сокращается на 3: (6 ÷ 3)/(15 ÷ 3) = 2/5. Изменяются целые числитель и знаменатель. Работа только с отдельными написанными цифрами не выражает это правило.
| Исходная запись | Точное представление |
|---|---|
| −5 | −5/1. Целое отрицательное число рационально. |
| 0,35 | 35/100 = 7/20. Конечная десятичная запись. |
| 2 целых 3/4 | (2 × 4 + 3)/4 = 11/4. Смешанная запись. |
| 0,(27) | 27/99 = 3/11. Скобки обозначают повторяющийся блок. |
Знак равенства требует точного совпадения, поэтому запись 1/3 ≈ 0,33 допустима как приближение, а 1/3 = 0,33 неверна. Правая конечная дробь равна 33/100. Она близка к одной трети, но сохраняет другое точное значение.
Такое различие пригодится при проверке решения: результат может выглядеть знакомо на экране, хотя округление уже произошло. Сначала найдите точную форму, а затем переходите к приближению, если условие действительно требует округления до определённого количества знаков после запятой. Делать вывод о множестве по округлённым цифрам недостаточно.
Почему бесконечная запись может быть рациональной?
Периодическая десятичная дробь рациональна, даже если её запись бесконечна: после некоторого места в ней повторяется один фиксированный блок цифр. Этот блок называют периодом. Например, 0,333333... обозначают как 0,(3). Число равно 1/3, поэтому нужная дробная запись существует.
Согласно материалам Australian Mathematical Sciences Institute о десятичных дробях, рациональные числа имеют конечную или в итоге повторяющуюся десятичную запись. Повтор может начинаться не сразу после запятой. В 0,166666... цифра 1 стоит до периода, а затем бесконечно повторяется 6.
Возникновение повтора можно понять по делению с остатком. Когда делим целые числа, возможных остатков меньше, чем делитель. Если остаток стал нулём, десятичная запись завершится. Если вновь появился прежний остаток, дальнейшие действия повторятся и возникнет период.
У деления на 3 ненулевые остатки ограничены числами 1 и 2. Бесконечно появляться новым остаткам негде. Поэтому обычное деление целого числа на ненулевое целое не создаст непериодическую бесконечную запись. Оно либо завершится, либо начнёт повторять один и тот же блок.
Есть и удобная проверка конечности. После сокращения дроби в знаменателе должны остаться только простые множители 2 и 5. Знаменатель 1 тоже подходит: дробь уже целая. Если остались другие простые множители, десятичная запись будет периодической.
Условные примеры: 7/20 заканчивается, потому что 20 = 2² × 5. Дробь 1/6 имеет период, поскольку 6 = 2 × 3. Но 3/6 сначала сокращается до 1/2 и даёт конечную запись 0,5. Проверять несокращённый знаменатель было бы ошибкой.
Для разбора множителей пригодится объяснение простых чисел и их делителей. Критерий конечности говорит только о виде десятичной записи. Обыкновенная дробь остаётся рациональной и при знаменателе с множителем 3, 7 или 11.
- Сократите исходную дробьОбщие множители могут убрать из знаменателя число, которое иначе создало бы период.
- Разложите знаменатель на простые множителиПроверьте, остались ли только 2 и 5. Считать длину периода для этого не требуется.
- Назовите вид записиТолько 2 и 5 дают конечную десятичную запись; другой множитель означает периодическую.
Четыре способа предъявить дробь
Доказать рациональность часто проще преобразованием. Для целого числа достаточно знаменателя 1, для конечной десятичной дроби степени десяти. Смешанное число переводят в неправильную дробь. Для периода используют умножение и вычитание так, чтобы одинаковые бесконечные хвосты сократились.
Ниже четыре условных учебных примера с разной формой записи. Здесь требуется точная дробь с целыми числителем и знаменателем. Приближённая десятичная запись ответом не заменяется, иначе исходное свойство останется недоказанным.
Конечная запись −1,25
После запятой стоят две цифры, поэтому берём знаменатель 100. Получаем −1,25 = −125/100. У числителя и знаменателя есть общий делитель 25. После сокращения: (−125 ÷ 25)/(100 ÷ 25) = −5/4.
Числитель целый, знаменатель ненулевой целый, поэтому требуемая запись найдена. Отрицательный знак этому не препятствует. Если бы после запятой было три цифры, исходным знаменателем стала бы 1 000. Количество десятичных знаков определяет степень десяти, но не запрещает последующее сокращение.
Смешанное число −2 целых 3/4
Минус перед смешанным числом относится ко всему значению. Сначала найдём модуль: 2 + 3/4 = 8/4 + 3/4 = 11/4. Затем вернём знак. Получается −2 целых 3/4 = −11/4.
Нельзя читать эту смешанную запись как −2 + 3/4. Такое выражение равно −8/4 + 3/4 = −5/4 и обозначает другое число. Чтобы исключить недоразумение в объяснении, запишите −(2 + 3/4).
Калькулятор из карточки переводит смешанную запись в неправильную дробь и обратно. Он подходит для этого шага, но не служит доказательством иррациональности произвольного выражения. В полях нужно указать целую часть, числитель и знаменатель согласно выбранному режиму.
Чистый период 0,(27)
Обозначим число x = 0,272727... . Блок содержит две цифры, поэтому умножим на 100: 100x = 27,272727... . Вычтем исходное равенство: 100x − x = 27. Справа совпадают бесконечные повторяющиеся части, поэтому при вычитании исчезает весь повторяющийся хвост, а не только несколько цифр, показанных перед многоточием.
Получилось 99x = 27, откуда x = 27/99 = 3/11. Число рационально. Повторяется именно весь блок «27». Запись 0,27777... имеет другой период и другое значение, хотя первые две цифры совпадают.
Метод совмещения хвостов через умножение и вычитание описан в учебнике Iain Pardoe для подготовки учителей в Thompson Rivers University. Здесь использован собственный числовой пример. Проверка не требует доверять преобразованию на слово: при обычном делении 3 на 11 снова возникает повторяющийся блок «27».
Смешанный период 0,1(6)
Здесь x = 0,166666... . Сначала сдвинем непериодическую цифру: 10x = 1,666666... . Затем сдвинем ещё одну цифру: 100x = 16,666666... . Теперь справа стоят одинаковые бесконечные хвосты.
Вычитаем: 100x − 10x = 16,666666... − 1,666666... = 15. Значит, 90x = 15. После деления и сокращения x = 15/90 = 1/6. Если вычитать x сразу из 10x, повторяющиеся части не совпадут нужным образом.
Эти приёмы позволяют предъявить конкретную пару целых чисел. Такое доказательство надёжнее объяснения «выглядит как дробь». Одно и то же рациональное значение может скрываться за минусом, смешанной записью или бесконечным периодом.
Как проверять корни и округления?
Перед классификацией выражение нужно упростить. Корень сам по себе не делает число иррациональным: √9 = 3 = 3/1. Но √2 нельзя представить отношением целых. Решение зависит от точного значения выражения, а не от наличия значка √ в условии.
В учебнике OpenStax рациональные и иррациональные числа рассматриваются как разные части множества действительных чисел. Иррациональными называют действительные числа, для которых дробь нужного вида не существует. Их десятичная запись бесконечна и непериодична. Простого обрыва записи после нескольких цифр для такого вывода недостаточно.
Условная пара: √(9/16) = 3/4 рациональна. В √(2/9) получается √2/3, иррациональное значение. Здесь нельзя заменить √2 на 1,41 и объявить результат рациональным: округлённая дробь описывает приближение, а не исходный корень.
Та же ловушка возникает с π. Само π иррационально, число 3,14 рационально и равно 157/50. Равенства между ними нет. Символ ≈ передаёт приближение; при замене его знаком = доказательство начнёт относиться к другому числу.
Ошибка: любой бесконечный хвост считать иррациональным. Для рациональности достаточно известного периода. В 0,(3) повторяется 3, поэтому существует дробь 1/3.
Ошибка: поверить конечному экрану калькулятора. Конечное отображение может быть округлением иррационального значения. Вернитесь к точному выражению из условия.
Ошибка: допустить ноль в знаменателе. Запись 5/0 не задаёт рациональное число. Для нуля подходит 0/1; менять местами числитель и знаменатель здесь нельзя.
Нужно осторожно относиться и к записи вида 0,123... без пояснения продолжения. Первые несколько цифр не определяют, есть ли дальше период, поскольку для одного и того же конечного начала существуют разные бесконечные продолжения. Можно продолжить их периодически либо по непериодическому правилу. Если условие не задаёт число достаточно точно, честный ответ требует назвать недостаток данных.
При этом «период пока не заметен» не равнозначно «периода нет». У рациональной дроби повторяющийся блок способен быть длинным, и короткий экран калькулятора может не показать ни одного полного повторения. Лучше проверять исходную дробь или правило построения, чем угадывать свойства по короткому фрагменту десятичной записи.
Счёт внутри множества
Сложение, вычитание и умножение рациональных чисел дают рациональные результаты. Деление тоже сохраняет принадлежность Q, если делитель не равен нулю. Это свойство называют замкнутостью: выполнение разрешённой операции не выводит за пределы рассматриваемого множества.
Объяснение видно через дроби. Для суммы a/b + c/d получаем (ad + bc)/(bd). Сверху снова целое число, снизу произведение ненулевых целых, поэтому знаменатель не обнуляется. Для произведения используется дробь ac/(bd). Условие определения сохраняется.
Разберём условную сумму −2/3 + 5/6. Приводим к общему знаменателю: −2/3 = −4/6. Затем −4/6 + 5/6 = (−4 + 5)/6 = 1/6. Положительный результат получился из чисел разных знаков, и дробь по-прежнему рациональная.
Условное произведение: (−3/4) × (8/9) = −24/36 = −2/3. Можно сократить множители ещё до перемножения, если выполнять сокращение корректно. В отдельном разборе умножения дробей показано, как сохранять знак и не получать лишних больших чисел.
При делении переворачивают дробь-делитель. Условный пример: (−2/5) : (3/10) = (−2/5) × (10/3) = −20/15 = −4/3. Проверяем обратным действием: (−4/3) × (3/10) = −12/30 = −2/5.
| Действие | Граница правила |
|---|---|
| Сложение и вычитание | Рациональный результат получается для любых двух рациональных чисел. |
| Умножение | Рациональный результат сохраняется, в том числе при множителе 0. |
| Деление | Делитель должен быть ненулевым. Ноль делить на ненулевое число можно. |
| Извлечение корня | Общего обещания рационального результата нет: √9 и √2 дают разные случаи. |
Обратное число для ненулевого a/b равно b/a. У нуля такого рационального числа нет: никакой множитель не превратит произведение с нулём в единицу. Противоположное число существует и у нуля: противоположное к 0 снова 0. Обратное и противоположное отвечают разным действиям, поэтому знак минус перед дробью не заменяет перестановку числителя и знаменателя.
В условном бытовом примере рецепт рассчитан на 3/4 литра напитка, но нужна доля 2/3 от рецепта. Считаем 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2 литра. Точную дробь можно записать как 0,5 литра. Здесь смена записи помогает измерить объём, не меняя сам результат.
Всегда ли найдётся число между двумя?
Между любыми двумя различными рациональными числами найдётся ещё одно рациональное. Удобный способ построения: сложить исходные числа и разделить сумму на 2. Получится их середина. Это значение строго больше меньшего числа и строго меньше большего.
Согласно справочнику Wolfram MathWorld, такое свойство называют плотностью рациональных на числовой прямой. Слово «плотность» здесь не относится к массе вещества. Оно говорит, что у рационального числа нет следующего рационального соседа в том смысле, как у целого 2 есть следующее целое 3.
Возьмём условные границы 1/3 и 1/2. Найдём середину: (1/3 + 1/2) / 2 = (2/6 + 3/6) / 2 = (5/6) / 2 = 5/12. Проверка: 1/3 = 4/12, а 1/2 = 6/12. Дробь 5/12 действительно находится между ними.
- Приведите границы к удобной записиВ примере 1/3 и 1/2 превращаются в 4/12 и 6/12. Их порядок становится видимым.
- Постройте серединуДля разных чисел a и b используйте (a + b)/2. Разрешённые действия сохраняют рациональность.
- При необходимости повторитеМежду меньшей границей и найденной серединой снова можно построить рациональное число.
Из этого не следует, что на прямой остались только рациональные точки. Иррациональные действительные числа тоже существуют. Умение находить промежуточную дробь и утверждение «каждая точка задаётся рациональной дробью» имеют разный смысл. Второе утверждение неверно.
Если на клетчатой схеме соседние отмеченные дроби выглядят близко, это ограничение масштаба рисунка. При любом увеличении между различными рациональными границами снова найдётся дробь, поэтому последнюю минимальную положительную рациональную дробь таким способом обнаружить нельзя. Для любой положительной r число r/2 тоже положительно, рационально и меньше r.
Восемь проверок понимания
Все задания ниже условные. Сначала предъявите дробь или назовите точное препятствие, затем открывайте пояснение. Одного ответа «да» недостаточно, если рациональность требуется обосновать. Для бесконечной десятичной записи отдельно проверяйте, задано ли правило её продолжения.
1. Рациональны ли −8, 0 и 0,125?
Да. Подходят представления −8/1, 0/1 и 125/1000 = 1/8. Во всех случаях числитель и знаменатель целые, знаменатель не равен нулю. Знак числа на возможность такого представления не влияет.
2. Переведите 0,(18) в обыкновенную дробь.
Пусть x = 0,181818... . Тогда 100x = 18,181818... . Вычитаем: 99x = 18. Получаем x = 18/99 = 2/11. Период содержит две цифры, поэтому использовался множитель 100.
3. Что представляет −1 целая 2/5?
Это −(1 + 2/5) = −(5/5 + 2/5) = −7/5. Выражение −1 + 2/5 дало бы −3/5 и потому не равно исходной смешанной записи.
4. Закончится ли десятичная запись 21/60?
Сначала сократим на 3: 21/60 = 7/20. В знаменателе 20 = 2² × 5, других простых множителей нет. Запись конечная: 7/20 = 0,35. Проверять число 60 до сокращения было бы неверно.
5. Рационально ли √(25/36)?
Да. √(25/36) = 5/6, поскольку квадрат 5/6 равен 25/36 и дробь положительна. Рациональность подтверждается точным вычислением корня, а не его десятичным приближением.
6. Найдите рациональное число между −1/2 и 0.
Подходит середина: (−1/2 + 0)/2 = −1/4. Проверка порядка: −1/2 = −2/4, а 0 = 0/4. Дробь −1/4 находится строго между ними.
7. На экране 1,414214. Доказывает ли это рациональность √2?
Нет. Конечное число 1,414214 рационально само по себе, но для √2 это приближение. Исходное √2 иррационально. Классификация округления не заменяет классификацию точного значения.
8. Можно ли по записи 0,121... установить рациональность?
Без правила продолжения нельзя. После показанных цифр может начаться повторяющийся блок, а может быть задана непериодическая последовательность. Требуется точное определение числа или известная исходная дробь.
Если трудность возникла в приведении к общему знаменателю, стоит отдельно повторить сложение дробей по шагам. Если вопрос был в периоде, выпишите два равенства с совпадающими хвостами. Для понимания темы полезнее найти нарушенный шаг, чем переписать готовый числовой ответ.
Школьные занятия для последовательного повторения собраны в разделе каталога по математике для школьников. Выбирать следующий материал удобнее по конкретному пробелу: знаки, преобразование записи или действия с дробями. Эти навыки проверяются разными примерами.
Вывод
Рациональное число допускает точную дробь p/q с целыми числителем и знаменателем q ≠ 0. Поэтому целые, конечные десятичные и бесконечные периодические записи входят в Q. Для проверки предъявите такую дробь: короткая форма 1/3 доказывает больше, чем длинный ряд округлённых цифр.