Чтобы умножить дробь на дробь, перемножьте верхние числа (числители) между собой и нижние числа (знаменатели) между собой — и всё. Приводить дроби к общему знаменателю, как при сложении, здесь не требуется. Например, 2/3 × 4/5 = (2·4)/(3·5) = 8/15. Ниже разберём по шагам все случаи — дробь на дробь, дробь на целое число и смешанные числа, — а ещё сокращение, которое экономит время, и частые ошибки, из-за которых ответ выходит неверным.
- Умножаем напрямую: числитель × числитель, знаменатель × знаменатель.
- Общий знаменатель не нужен — он только для сложения и вычитания.
- Дробь на целое: умножаем числитель, знаменатель оставляем прежним.
- Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби.
- Результат сокращаем — делим верх и низ на общее число — и выделяем целую часть.
Если ответ нужен прямо сейчас, введите дроби в калькулятор — он перемножит их и покажет решение по шагам с сокращением. Разбор правила идёт дальше.
Главное правило: умножаем верх на верх, низ на низ
Напомним слова. Числитель — это верхнее число дроби, оно показывает, сколько долей мы берём. Знаменатель — нижнее число, оно говорит, на сколько долей поделили целое. Правило умножения короткое: числители перемножаем между собой, знаменатели тоже между собой.
Посчитаем 2/3 × 4/5 по шагам, не пропуская ни одного действия:
-
Перемножаем числители2 · 4 = 8 — это числитель ответа.
-
Перемножаем знаменатели3 · 5 = 15 — это знаменатель ответа.
-
Записываем дробьПолучаем 8/15. Числитель и знаменатель общих делителей не имеют, сокращать нечего — это и есть ответ.
Если перемножить нужно не две дроби, а три или больше, правило не меняется: все числители идут в один числитель, все знаменатели — в один знаменатель. Например, 1/2 × 2/3 × 3/4 = (1·2·3)/(2·3·4) = 6/24 = 1/4.
Иногда спрашивают про умножение дробей столбиком. В столбик удобно перемножать десятичные дроби вроде 0,5 × 0,4. Обыкновенные дроби типа 2/3 столбиком не считают — для них и работает правило с числителями и знаменателями. Если в задаче десятичная дробь, её сначала переводят в обыкновенную: 0,4 это 2/5.
Главное здесь: перемножаем верх с верхом и низ с низом. Никакого общего знаменателя при умножении искать не надо.
Почему числители умножаются: наглядно на прямоугольнике
Формулу легко запомнить, но полезно понять, откуда она берётся. Возьмём прямоугольник за целое и найдём «2/3 от 4/5». Сначала по ширине отмечаем 4/5 — это четыре столбика из пяти. Потом по высоте отмечаем 2/3 — две строки из трёх.
Прямоугольник разбился на 5 · 3 = 15 одинаковых клеток. Область на пересечении (закрашенная обоими цветами) занимает 2 · 4 = 8 клеток. Вот почему знаменатели перемножаются (всего клеток 15) и числители перемножаются (закрашено 8): 2/3 × 4/5 = 8/15.
Заодно видно, почему произведение получается меньше множителей. Мы берём часть от части — кусочек внутри кусочка. Половина от половины это четверть, а 8/15 меньше и чем 2/3, и чем 4/5. Если обе дроби меньше единицы, результат всегда мельче каждой из них.
Оговорка одна: так бывает, пока обе дроби правильные, то есть меньше единицы. Когда один из множителей больше единицы (например, смешанное число), произведение может выйти и больше.
Главное здесь: умножение дробей это «часть от части», а формула — просто короткая запись подсчёта клеток.
Умножение дробей с разными знаменателями
Разные знаменатели при умножении никак не мешают. Это главное отличие от сложения: там знаменатели сначала уравнивают, а при умножении дроби перемножают как есть.
Возьмём 3/7 × 2/5. Перемножаем числители: 3 · 2 = 6. Перемножаем знаменатели: 7 · 5 = 35. Ответ 6/35 — дробь несократима, на этом стоп. Никакого приведения к общему знаменателю не понадобилось.
Иногда после прямого умножения дробь ещё сокращается. Возьмём 5/6 × 3/8: числители 5 · 3 = 15, знаменатели 6 · 8 = 48, выходит 15/48. Числитель и знаменатель делятся на 3, поэтому 15/48 = 5/16.
- Складываете или вычитаете — сначала уравняйте знаменатели.
- Умножаете — перемножайте числители и знаменатели напрямую.
- Память-подсказка: общий знаменатель нужен только там, где есть плюс или минус.
Главное здесь: при умножении знаменатели могут быть любыми, общий искать не нужно.
Как умножить дробь на целое число
Целое число — это та же дробь, только со знаменателем 1: число 6 это 6/1. Поэтому при умножении на целое мы умножаем числитель на это число, а знаменатель оставляем прежним.
-
Умножаем числитель на целое2/3 × 6: умножаем 2 · 6 = 12, знаменатель 3 не трогаем. Получаем 12/3.
-
Сокращаем или делим12/3 = 4 — дробь разделилась нацело, ответ целый.
Когда нацело не делится, результат оставляют дробью и выделяют целую часть. Например, 2/5 × 3 = 6/5 = 1 1/5. А 3/4 × 8 = 24/4 = 6.
Целое можно понимать буквально: дробь берут столько раз, сколько оно показывает. Запись 2/3 × 6 означает шесть раз по 2/3, а вместе они дают ровно 4.
- Умножение на 1 ничего не меняет: 3/5 × 1 = 3/5.
- А на 0 любая дробь даёт ноль: 3/5 × 0 = 0.
- Если умножить дробь на её «перевёрнутую», выйдет 1: 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1, и это пригодится при делении.
Главное здесь: на целое число умножается только числитель, знаменатель остаётся на месте.
Сокращение крест-накрест: считаем проще
Сокращать дробь можно не только в конце, но и до умножения — это избавляет от больших чисел. Берут одно число сверху и одно снизу по разные стороны дробной черты и делят оба на общий делитель.
Посчитаем 3/4 × 2/9. Число 3 сверху и 9 снизу делятся на 3 — выходит 1 и 3. Число 2 сверху и 4 снизу делятся на 2 — выходит 1 и 2. Остаётся 1/2 × 1/3 = 1/6. Тот же ответ получится и без сокращения (6/36 = 1/6), но через большие числа и лишний шаг.
Как понять, на что сокращать? Ищем число, на которое делятся и верх, и низ. В примере 3/4 × 2/9 это видно так: 3 сверху и 9 снизу делятся на 3, а 2 сверху и 4 снизу делятся на 2.
Возьмём ещё 8/9 × 3/4. Восьмёрку сверху и четвёрку снизу делим на 4 — выходит 2 и 1. Тройку сверху и девятку снизу делим на 3 — выходит 1 и 3. Остаётся 2/3 × 1/1 = 2/3. Большие числа так и не появились.
Сокращать разрешено в любой момент — и до умножения, и после. Ответ выйдет одинаковым, разница лишь в размере чисел. Привычка чистить заранее особенно выручает без калькулятора, где большие произведения легко посчитать с ошибкой.
Главное здесь: сокращайте пару «верх и низ» до умножения — и работаете с маленькими числами.
Умножение смешанных чисел
Смешанное число — это целая часть рядом с дробью, например 1 1/2. Умножать его «как есть» нельзя. Сначала смешанное число переводят в неправильную дробь: целую часть умножают на знаменатель, прибавляют числитель — получается новый числитель, а знаменатель остаётся прежним.
Умножим 1 1/2 × 2 2/3 по шагам:
-
Переводим в неправильные дроби1 1/2 = (2·1 + 1)/2 = 3/2. И 2 2/3 = (3·2 + 2)/3 = 8/3.
-
Перемножаем дроби3/2 × 8/3 = (3·8)/(2·3) = 24/6.
-
Сокращаем24/6 = 4. Ответ целый.
Соблазн умножить целые части между собой, а дробные между собой даёт неверный результат: получилось бы 2 1/3 вместо правильной 4. Поэтому смешанные числа всегда сначала переводят в неправильные дроби.
Главное здесь: смешанное число — в неправильную дробь, и только потом перемножаем.
Частые ошибки при умножении дробей
Само умножение дробей простое, но на нём регулярно теряют баллы из-за пары ловушек. Разберём их по убыванию частоты.
| Ошибка | Как неправильно | Как правильно |
|---|---|---|
| Ищут общий знаменатель | 2/3 × 4/5 → уравнивают до 15 | перемножают напрямую: 8/15 |
| Складывают вместо умножения | 2/3 × 4/5 = 6/8 | 2/3 × 4/5 = 8/15 |
| На целое умножают и знаменатель | 2/3 × 6 = 12/18 | только числитель: 12/3 = 4 |
| Смешанные множат по частям | 1 1/2 × 2 2/3 = 2 1/3 | сначала 3/2 × 8/3 = 4 |
| Не переводят смешанное | множат смешанное «как есть» | смешанное → неправильная дробь |
| Не сокращают ответ | оставляют 24/6 или 6/36 | 24/6 = 4, 6/36 = 1/6 |
| Сокращают не по диагонали | делят два числа сверху | только пару «верх и низ» |
| Теряют знак минуса | −2/3 × −1/5 = −2/15 | минус на минус даёт плюс: 2/15 |
Самые частые — первые две: лишний общий знаменатель и сложение вместо умножения. Если держать в голове картинку с прямоугольником, обе уходят: при умножении мы просто перемножаем стороны, а не уравниваем доли.
- Перемножили две правильные дроби — ответ должен быть меньше каждой из них. Получилось больше — ищите ошибку.
- Дробь ещё сокращается — значит, ответ не доведён до конца.
- Неправильную дробь переведите в смешанное число, так ответ нагляднее.
Где пригодится умножение дробей и проверь себя
Умножение дробей нужно не только на контрольной. Та же операция работает в обычных делах.
- Рецепты. Готовим полпорции и берём 1/2 от 3/4 стакана муки: 1/2 × 3/4 = 3/8 стакана.
- Проценты. Скидка на скидку: 50% от 30% это 1/2 × 3/10 = 3/20, то есть 15%.
- Масштаб и чертежи. Длина детали 2/3 от 3/4 метра: 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 метра.
- Вероятность. Шанс выбросить две решки подряд: 1/2 × 1/2 = 1/4.
Проверьте себя: чему равно 3/8 × 4/9? Перемножаем числители: 3 · 4 = 12. Перемножаем знаменатели: 8 · 9 = 72. Выходит 12/72, а после сокращения на 12 получается 1/6. Подставьте свои дроби в калькулятор — он покажет каждый шаг и сразу сократит результат.
Вывод
Умножать дроби проще, чем складывать: перемножаем числители, перемножаем знаменатели, и общий знаменатель искать не нужно. На целое число умножается только числитель, а смешанные числа сначала переводят в неправильные дроби. В конце результат сокращают и при необходимости выделяют целую часть. Главные ошибки — лишний общий знаменатель и сложение вместо умножения; картинка с прямоугольником помогает их не допускать.