Чтобы найти периметр прямоугольника, сложите его длину и ширину и умножьте сумму на два: P = 2·(a+b). Например, у прямоугольника со сторонами 5 и 3 см периметр равен 2·(5+3) = 16 см. Периметр - это длина всей границы фигуры, если обойти её по краю. Ниже разберём не только прямую задачу, но и обратную (как найти сторону, зная периметр), квадрат как частный случай, расчёт по клеткам для ВПР и где периметр нужен в ремонте.
- Формула: P = 2·(a+b), где a - длина, b - ширина.
- То же самое в другой записи: P = 2a + 2b.
- Обратная задача - найти длину или ширину: a = P/2 − b.
- Квадрат - частный случай: P = 4·a.
- Единицы периметра линейные (см, м), а не квадратные.
- Для ремонта: периметр комнаты - это сколько плинтуса нужно по краю пола.
Если нужно посчитать прямо сейчас, введите длину и ширину в калькулятор - он покажет периметр и саму формулу с подстановкой.
Формула периметра прямоугольника
У прямоугольника четыре стороны, и противоположные равны между собой: две длины a и две ширины b. Чтобы найти периметр, их все складывают. Получается P = a + b + a + b, а короче - P = 2·(a+b).
Поскольку длин две и ширин две, сумму удобно записать через умножение на два. Отсюда и берётся знакомая формула.
Посчитаем для прямоугольника со сторонами 5 и 3 см по шагам:
-
Складываем длину и ширину5 + 3 = 8.
-
Умножаем сумму на два2 · 8 = 16. Периметр равен 16 см.
Ещё пример: при сторонах 8 и 6 см периметр равен 2·(8 + 6) = 2·14 = 28 см. Иногда сторону задают словами: пусть ширина 4 см, а длина на 3 см больше. Тогда длина равна 4 + 3 = 7, и периметр 2·(4 + 7) = 22 см. Общее правило периметра для любой фигуры разобрано отдельно в статье как найти периметр, здесь же мы идём вглубь именно прямоугольника.
Главное здесь: складываем длину и ширину и удваиваем. Никаких других формул периметра прямоугольника не нужно.
Как найти сторону прямоугольника, зная периметр
Это обратная задача, и она встречается чаще, чем кажется: «куплено 100 метров штакетника, одна сторона участка 30 метров, какая вторая?». Половина периметра - это сумма длины и ширины. Значит, чтобы найти недостающее значение, делят периметр на два и вычитают известное: a = P/2 − b. Неважно, что вам дано - длина или ширина: обе входят в полусумму одинаково, поэтому правило не меняется.
Пусть периметр равен 20, а одна сторона 6. Считаем по шагам:
-
Берём половину периметра20 / 2 = 10. Это сумма длины и ширины.
-
Вычитаем известную сторону10 − 6 = 4. Вторая сторона равна 4.
По тому же правилу при P = 20 и стороне 3 получаем 20/2 − 3 = 10 − 3 = 7. А вернувшись к забору: 100/2 − 30 = 50 − 30 = 20 метров - вот вторая сторона участка. Тот же приём выручает с рамкой: на багет ушло 140 см, а высота фото 40 см, тогда ширина равна 140/2 − 40 = 70 − 40 = 30 см.
Главное здесь: половина периметра это длина плюс ширина, поэтому вторую сторону находят через a = P/2 − b.
Периметр квадрата как частный случай
Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны. Если в формуле P = 2·(a+b) подставить b = a, выходит 2·(a+a) = 2·2a = 4a. Поэтому периметр квадрата считают ещё проще: P = 4·a. Например, у квадрата со стороной 4 см периметр равен 4·4 = 16 см.
Обратная задача для квадрата тоже короче: сторону находят делением периметра на четыре, a = P/4. При периметре 24 см она равна 24/4 = 6 см. Посчитать периметр квадрата можно в отдельном калькуляторе периметра квадрата.
Главное здесь: у квадрата формула сворачивается до P = 4·a, потому что все четыре стороны одинаковы.
Периметр прямоугольника по клеткам (ВПР, 4 класс)
На клетчатой бумаге размеры не подписаны, поэтому их считают по клеткам: одна клетка обычно равна 1 см. Например, прямоугольник занимает 6 клеток в длину и 4 в высоту. Обходим его по контуру и складываем: 6 + 4 + 6 + 4 = 20 клеток, то есть периметр равен 20 см. Короче - удвоить сумму соседних: 2·(6 + 4) = 20.
В заданиях ВПР и ОГЭ часто просят обратное: начертить прямоугольник с заданным периметром. Тогда удобно перебрать пары чисел, дающие нужную половину периметра. Для периметра 18 половина равна 9, и подходят такие варианты:
- 1 и 8 (1 + 8 = 9, периметр 2·9 = 18)
- 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5 - сумма каждой пары равна 9
- Любая пара чисел с суммой 9 даёт периметр 18.
Бывает и хитрее: дают площадь и подсказку, во сколько раз длина больше ширины. Например, площадь 18, а длина вдвое больше ширины - подходят 3 и 6, и периметр 2·(3 + 6) = 18. Сначала подбирают числа, потом считают периметр.
Главное здесь: по клеткам считают размеры, а для заданного периметра перебирают пары чисел с нужной половиной суммы.
Одинаковый периметр - разная площадь
Здесь кроется неожиданное: у двух прямоугольников может быть один и тот же периметр, но разная площадь. Периметр считают сложением, а площадь умножением, поэтому они ведут себя по-разному. Их часто путают именно на прямоугольнике, ведь в обе формулы входят те же длина и ширина. Запомнить помогает образ: периметр - это забор вокруг участка, а площадь - газон внутри него. Забор меряют в метрах, газон - в квадратных метрах.
Возьмём периметр 16 см и посмотрим на три прямоугольника:
| Стороны | Периметр 2·(a+b) | Площадь a·b |
|---|---|---|
| 4 × 4 (квадрат) | 16 см | 16 см² |
| 6 × 2 | 16 см | 12 см² |
| 7 × 1 | 16 см | 7 см² |
При одном периметре площадь максимальна у квадрата и падает, когда прямоугольник вытягивается. Это свойство ценят упаковщики и дизайнеры: чтобы вместить больше при той же длине бортика, форму тянут ближе к квадрату. Посчитать площадь прямоугольника по длине и ширине удобно в калькуляторе площади прямоугольника.
Главное здесь: равный периметр не означает равную площадь, а наибольшую площадь при заданном периметре даёт квадрат.
Разные единицы: см, дм, метры
Складывать длину и ширину можно только в одной единице. Если длина в метрах, а ширина в сантиметрах, сначала приводят к одной мере. Пусть длина 1 м, а ширина 20 см. Метр это 100 см, поэтому периметр равен 2·(100 + 20) = 2·120 = 240 см, или 2,4 м. Та же логика с дециметрами: 1 дм это 10 см, и их тоже переводят перед сложением.
И ещё про единицы: периметр это длина линии, поэтому его пишут в линейных мерах - сантиметрах или метрах. Квадратные единицы (см²) у периметра не ставят, они нужны для площади.
Главное здесь: перед расчётом приводим длину и ширину к одной единице, а ответ периметра пишем линейными мерами.
Где пригодится: плинтус, забор, рамка
Периметр прямоугольника постоянно нужен в быту - везде, где что-то идёт по краю.
- Плинтус в комнате 4 × 5 м: 2·(4 + 5) = 18 м напольного плинтуса.
- Забор вокруг участка 30 × 20 м: 2·(30 + 20) = 100 м сетки.
- Рамка для фото 30 × 40 см: 2·(30 + 40) = 140 см багета, то есть 1,4 м.
- Бордюр для грядки 3 × 2 м: 2·(3 + 2) = 10 м ленты.
- По тому же правилу считают бортик вокруг бассейна, каркас теплицы и кант по краю ковра.
Полезное правило для ремонта: по периметру считают то, что идёт по краю - плинтус, бордюр, рамку, забор. А вот обои на стену или плитку на пол считают уже по площади, ведь покрывают всю поверхность, а не только край. Периметр отвечает за окантовку, площадь - за покрытие. На практике материал берут с запасом: округляют вверх, добавляют процентов десять на подрезку, а из периметра комнаты вычитают ширину дверного проёма. Обратный счёт тоже бытовой: если на грядку 3 на 2 ушло 10 метров ленты, это легко проверить: 2·(3 + 2) = 10.
Главное здесь: плинтус, забор и рамку считают по периметру, а покрытие пола или стен - по площади.
Частые ошибки при расчёте периметра
Само правило простое, но на нём регулярно спотыкаются из-за пары привычных ловушек. Вот те, что встречаются чаще всего.
| Ошибка | Как неправильно | Как правильно |
|---|---|---|
| Забыли умножить на 2 | P = 5 + 3 = 8 | P = 2·(5 + 3) = 16 |
| Сложили только две стороны | взяли длину и ширину как весь периметр | у прямоугольника 4 стороны, противоположные равны |
| Спутали периметр и площадь | «периметр 5 × 3 = 15» | 15 - это площадь (см²); периметр 16 (см) |
| Разные единицы не привели | 2·(1 + 20) = 42 при 1 м и 20 см | 1 м = 100 см, тогда 2·(100 + 20) = 240 см |
| В обратной задаче не вычли сторону | a = P/2 при известной b | a = P/2 − b |
| У квадрата удвоили вместо учетверения | P = 2·a | P = 4·a, сторон четыре |
| Периметр записали в см² | P = 16 см² | периметр линейный: P = 16 см |
Самая частая ошибка - забыть умножение на два: ученик складывает длину и ширину и останавливается. Помогает картинка с контуром: периметр это путь вокруг всей фигуры, а не одна длина плюс одна ширина.
- Периметр 24 см, одна сторона 7 см. Найдите вторую: 24/2 = 12, затем 12 − 7 = 5 см.
- Квадрат с периметром 24 см: сторона равна 24/4 = 6 см.
- Прямоугольник 9 на 1 и квадрат 5 на 5 - у кого периметр больше? Поровну, у обоих 20 см.
Вывод
Чтобы найти периметр прямоугольника, сложите длину и ширину и умножьте на два: P = 2·(a+b). Обратная задача решается так же просто - сторону находят через a = P/2 − b. У квадрата формула сворачивается до P = 4·a. Держите все стороны в одной единице и не путайте периметр с площадью: периметр это длина границы в сантиметрах, а площадь - место внутри в квадратных сантиметрах. А чтобы получить ответ мгновенно, введите стороны в калькулятор.