В школьной геометрии вектор — это направленный отрезок: у него указаны начало и конец. На рисунке его изображают стрелкой. Для ненулевого вектора важны и длина, и направление, поэтому одинаковые по длине стрелки могут обозначать разные векторы. Например, перенос вправо отличается от такого же переноса влево. Координаты позволяют записать это различие числами. Ниже разберём свободные векторы на плоскости: когда они равны, как меняется знак при развороте и что означает пара чисел в записи.
Почему одной длины недостаточно?
У отрезка можно измерить длину, не выбирая направление. Для вектора нужно дополнительно указать, откуда и куда он идёт. Это меняет смысл даже при неизменной длине.
Согласно приложению о векторах к лекции СУНЦ МГУ по кинематике, первая буква обозначает начало, вторая конец. Вектор AB идёт из A в B, а вектор BA возвращает из B в A. При разных точках это противоположные векторы.
Согласно учебнику OpenStax University Physics, скалярную величину описывают числом с единицей, а для векторной требуется также направление. Например, масса является скалярной величиной, перемещение в пространстве векторной.
В учебниках над именем вектора ставят стрелку или выделяют его жирным. Здесь перед обозначениями AB и BA прямо пишем слово «вектор», чтобы отличать их от обычных отрезков.
Одинаковый перенос в разных местах
Представьте две стрелки одинаковой длины, направленные параллельно в одну сторону. Одну нарисовали внизу листа, другую выше. Для свободных векторов такое различие положения не меняет равенства.
В школьных задачах обычно рассматривают свободные векторы. Их можно переносить параллельно самим себе. При этом нельзя поворачивать стрелку или менять её длину.
Согласно учебнику Фоксфорда, равные векторы сонаправлены и имеют равные длины. Сонаправленность означает совпадение направления у векторов, лежащих на одной или параллельных прямых.
Одной параллельности недостаточно. Параллельные стрелки могут смотреть в противоположные стороны; тогда они не будут сонаправленными. А сонаправленные стрелки разной длины ещё не равны.
Как прочитать координаты вектора?
На плоскости вектор записывают парой чисел в выбранной системе координат. Первое показывает изменение по оси x, второе по оси y. Это изменение положения, а не обязательно координаты точки, где заканчивается стрелка.
Возьмём условный учебный пример: A(1; 1) и B(5; 3). Положительное направление x выбрано вправо, y вверх. Чтобы попасть из A в B, требуется смещение на 4 единицы вправо и на 2 вверх.
-
Вычтите начальную координату x5 − 1 = 4. Это горизонтальное изменение.
-
Вычтите начальную координату y3 − 1 = 2. Это вертикальное изменение.
-
Запишите пару в прежнем порядкеПолучится (4; 2). Не меняйте местами горизонтальную и вертикальную координаты.
Правило «конец минус начало» приведено и в уроке Ростелеком Лицея о координатах векторов. Для обратного вектора BA порядок вычитания меняется: 1 − 5 = −4, затем 1 − 3 = −2. Получаем (−4; −2).
Другой перенос из C(2; 4) в D(6; 6) имеет координаты (6 − 2; 6 − 4) = (4; 2). В той же системе координат это вектор, равный AB.
Калькулятор в карточке позволяет задать начало и конец, проверить полученные координаты и посмотреть модуль. Здесь мы объясняем смысл стрелки; подробный расчёт вынесен в статью как найти длину вектора.
Из двух перемещений получается одно
Два вектора складывают так, чтобы начало второго совпало с концом первого. Результат идёт из начала первого в конец второго. Это называют правилом треугольника.
Для условного примера сначала сместимся на 4 единицы вправо, затем на 2 вверх. Получатся два перемещения и один итоговый вектор.
| Перемещение | Координаты |
|---|---|
| Первое: вправо | (4; 0) |
| Второе: вверх | (0; 2) |
| Итог от начала до конца | (4 + 0; 0 + 2) = (4; 2) |
Складываются соответствующие координаты. Число 4 относится к горизонтальному изменению, число 2 к вертикальному. Сложить их в 6 и назвать это длиной итогового вектора было бы ошибкой.
Построение суммы описано в уроке Фоксфорда об операциях с векторами. Оно работает и тогда, когда второй вектор приходится сначала параллельно перенести к концу первого.
Когда стрелка не описывает весь путь?
Вектор перемещения связывает начальную точку с конечной. Он не хранит подробности маршрута: были ли повороты, остановки или возвращения. Разные маршруты между теми же точками могут дать одинаковый вектор перемещения.
Вектор может быть нулевым. Например, после прогулки с возвращением в исходную точку начальное и конечное положения совпадут. Суммарное перемещение окажется нулевым, хотя человек прошёл ненулевой путь.
Ошибка: считать отсутствие перемещения отсутствием движения. Нулевой итоговый вектор говорит о совпадении начала и конца. Он не доказывает, что между ними ничего не происходило.
Это различие соответствует определению перемещения и пути в OpenStax. Для восстановления всего движения нужны дополнительные сведения о положении во времени.
Если вы готовитесь к школьному экзамену и хотите закрепить тему задачами, есть раздел курсов для подготовки к ОГЭ по математике. Проверьте, входит ли в программу работа с векторами и координатами.
Какие стрелки совпадут после переноса?
Ответьте на три вопроса. Считайте, что речь о свободных векторах в одной системе координат, а все числовые примеры условные.
- Две стрелки направлены вправо, но одна вдвое длиннее. Равны ли векторы?
- У одного вектора координаты (4; 2), у другого (−4; −2). Что между ними общего и в чём различие?
- Точка E имеет координаты (2; 3), точка F координаты (2; 3). Каким будет вектор EF?
Ответы
- Нет. Направление совпадает, длины различаются. Сонаправленности недостаточно для равенства.
- Длины одинаковы, направления противоположны. Эти ненулевые векторы противоположны, но не равны.
- Разности координат: 2 − 2 = 0 и 3 − 3 = 0. Вектор нулевой: (0; 0). Направление у него не определено.
При переносе сравнивайте стрелки целиком. Если изменили наклон или длину, вы построили другой ненулевой вектор. А числовая запись зависит от выбранных осей, поэтому координаты сравнивают внутри одной системы.
Вывод
Вектор помогает описать направленное изменение. У свободных ненулевых векторов равенство требует одинаковой длины и направления; перенос рисунка этого не нарушает. Координаты находят как «конец минус начало». Запись (4; 2) сообщает два изменения по осям, а не готовую длину стрелки.