Синус — это тригонометрическая функция, которая каждому углу ставит в соответствие число. Для острого угла прямоугольного треугольника оно равно отношению противолежащего катета к гипотенузе. Если эти стороны равны 6 и 10 в одинаковых единицах, синус равен 6 / 10 = 0,6. Это отношение, а не длина стороны и не сам угол. Для углов за пределами прямоугольного треугольника определение расширяют через окружность. Ниже свяжем оба способа и проверим, почему ответ не зависит от размера фигуры.
Как выбрать стороны для вычисления?
Сначала отметьте прямой угол и тот острый угол, синус которого нужен. Гипотенуза лежит напротив прямого угла. Противолежащий катет лежит напротив выбранного острого угла, поэтому его положение зависит от выбора угла.
Согласно учебному листу MathCenter о тригонометрических формулах, синус острого угла получают делением противолежащего катета на гипотенузу. Переворачивать эту дробь нельзя.
В условном учебном треугольнике катеты равны 6 и 8, гипотенуза равна 10. Угол α расположен напротив катета 6.
-
Найдите сторону напротив αЭто катет длиной 6. Он не образует угол α.
-
Найдите гипотенузуНапротив прямого угла лежит сторона 10.
-
Разделите длиныsin α = 6 / 10 = 0,6. Оба числа должны быть выражены в одинаковых единицах.
Для другого острого угла этого же треугольника противолежащим станет катет 8. Его синус равен 8 / 10 = 0,8. Чертёж один, но углы и ответы разные.
Если требуется сначала восстановить неизвестную сторону, переходите к отдельному разбору как найти гипотенузу. Здесь мы выясняем смысл отношения, а не перебираем способы расчёта всех сторон.
Размер меняется, отношение сохраняется
Увеличим все стороны условного треугольника вдвое. Вместо 6, 8 и 10 получим 12, 16 и 20. Углы при таком увеличении не меняются: полученные треугольники подобны.
Согласно учебнику OpenStax Precalculus, тригонометрические отношения сторон применимы к прямоугольным треугольникам независимо от их положения и масштаба. Для того же угла α новое отношение равно 12 / 20 = 0,6.
Умножение числителя и знаменателя на одно число сохраняет дробь. Поэтому синус относится к углу, а не к размеру нарисованного треугольника. После деления одинаковые единицы длины сокращаются: у синуса нет сантиметров или метров.
Откуда берётся синус тупого угла?
В невырожденном прямоугольном треугольнике два остальных угла острые. Чтобы определить синус, например, для 150°, используют единичную окружность: её центр находится в начале координат, радиус равен 1.
От положительного направления оси x поворачиваем радиус на нужный угол. Положительный поворот идёт против часовой стрелки. Конец радиуса попадает в точку окружности; её координата y и есть синус этого угла.
Как указано в учебнике Фоксфорда, синус читают по координате y точки единичной окружности. На рисунке угол 150° приводит к точке с y = 1/2, поэтому sin 150° = 1/2.
Выше оси x синус положителен, ниже отрицателен, на самой оси равен нулю. Поскольку вертикальная координата единичной окружности лежит между −1 и 1, синус не выходит за эти пределы.
Треугольное определение согласуется с окружностью. В первой четверти радиус становится гипотенузой длиной 1, а вертикальный катет имеет длину y. Получаем sin α = y / 1 = y.
Значения, которые удобно узнавать
Обычно сначала запоминают несколько точных значений. Они помогают проверить калькулятор и различать сам угол со значением функции. Например, 30° обозначает угол, а 1/2 его синус.
| Угол | Синус | Как читать |
|---|---|---|
| 0° | 0 | Точка лежит на положительной части оси x. |
| 30° | 1/2 | Вертикальная координата равна половине радиуса. |
| 45° | √2 / 2 | Приблизительно 0,7071. |
| 60° | √3 / 2 | Приблизительно 0,8660. |
| 90° | 1 | Верхняя точка окружности. |
| 180° | 0 | Точка лежит на отрицательной части оси x. |
| 270° | −1 | Нижняя точка окружности. |
Точные значения этой таблицы согласуются со справочником Фоксфорда. Десятичные записи с четырьмя знаками округлены и не заменяют точные выражения с корнями.
Синус может быть одинаковым у разных углов. Например, sin 30° = sin 150° = 1/2. Поэтому по одному числу 0,5 нельзя без дополнительных условий выбрать единственный угол.
Когда ответ калькулятора требует проверки?
Сначала проверьте единицы угла. 30° и 30 радиан — разные аргументы, поэтому результаты у них разные. На калькуляторе сайта единица выбирается переключателем «Градусы» или «Радианы».
Ошибка: вводить число, не проверив режим. Для проверки sin 30° выберите градусы и введите 30. Ожидаемый результат 0,5. В режиме радиан то же введённое число означает другой угол.
Один и тот же угол можно записать иначе: 30° = π/6 радиана. Числовое поле принимает десятичную запись, поэтому для приближённой проверки в радианах используйте 0,5236. Результат будет близок к 0,5, но не обязан совпасть с ним точно из-за округления аргумента.
Для перевода единиц есть конвертер градусов и радиан. Сохраняйте точную запись угла в решении, если задача допускает ответ через π.
Вторая проверка касается геометрии. Формулу «катет / гипотенуза» нельзя без объяснения переносить на произвольный треугольник: у него может не быть прямого угла и гипотенузы.
Сможете объяснить ответ без угадывания?
Разберите три условных учебных случая. Для каждого назовите правило, а не только итоговое число.
- Напротив выбранного острого угла лежит катет 9, гипотенуза равна 15. Чему равен синус?
- Получен ответ sin α = 1,4. Допустимо ли такое значение для вещественного угла?
- Точка единичной окружности оказалась внизу, на оси y. Чему равен синус соответствующего угла?
Ответы с объяснениями
- 9 / 15 = 3 / 5 = 0,6. Противолежащий катет делят на гипотенузу.
- Нет. Синус вещественного угла находится между −1 и 1 включительно. Нужно проверить формулу и вычисление.
- −1. У нижней точки единичной окружности вертикальная координата равна −1.
После самостоятельного ответа можно проверить значение по известному углу в калькуляторе. Он вычисляет синус угла; длины двух сторон в это поле не вводят.
Для системной подготовки с задачами откройте раздел курсов к ОГЭ по математике. Уточните, как в программе разбираются отношения сторон и работа с углами.
Вывод
Синус связывает угол с числом. Для острого угла прямоугольного треугольника это отношение противолежащего катета к гипотенузе; на единичной окружности это координата y. Выбирайте нужный угол, сохраняйте одинаковые единицы сторон и проверяйте режим калькулятора. Масштаб подобной фигуры значение не меняет.