Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК — это онлайн-инструмент для вычисления наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) двух или трёх чисел. Он не просто выдаёт ответ: решение расписано по шагам и теми же приёмами, что в школе, — разложением на простые множители, общими множителями для НОД и недостающими для НОК, а для небольших чисел ещё и перебором делителей и кратных. К каждому шагу есть пояснение словами, с вашими числами.

НОД (наибольший общий делитель) двух или нескольких чисел — это наибольшее натуральное число, на которое каждое из них делится без остатка.

НОК (наименьшее общее кратное) двух или нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое нацело делится на каждое из данных чисел.

В школе НОД и НОК находят по разложению на простые множители: НОД — это произведение множителей, общих у всех чисел, а НОК — все множители первого числа и те множители остальных, которые в эту запись не вошли. Так решение и показано на странице. Например, 12 = 2 × 2 × 3 и 18 = 2 × 3 × 3: общие множители 2 и 3 дают НОД(12, 18) = 6, а к множителям числа 12 дописывают тройку из 18, поэтому НОК(12, 18) = 2 × 2 × 3 × 3 = 36. С тремя числами всё то же самое, только дописывают по очереди — из второго числа, затем из третьего: у 12, 18 и 24 НОД равен 6, а НОК — 72.

Для пары чисел верно тождество НОД(a, b) × НОК(a, b) = a × b, а из него получается формула НОК(a, b) = a × b : НОД(a, b). Она удобна для больших чисел, которые долго раскладывать на множители, и показана на странице отдельным блоком под решением. На три числа и больше это тождество не переносится: у 12, 18 и 24 НОД × НОК = 6 × 72 = 432, а произведение самих чисел — 5 184. Поэтому для трёх чисел в том же блоке стоит не формула, а объяснение, почему её здесь нет.

Способ 1 — перебор, с него тему и начинают. Выписываем все делители каждого числа и берём наибольший общий: у 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12, у 18 — 1, 2, 3, 6, 9 и 18; общие делители 1, 2, 3 и 6, наибольший из них 6. Для НОК выписываем кратные: у 12 это 12, 24, 36, у 18 — 18, 36; первое общее число 36. Способ самый наглядный, но у больших чисел списки становятся огромными, поэтому калькулятор показывает его только там, где он помещается на экран.

Способ 2 — разложение на простые множители, основной школьный способ. Раскладываем оба числа (калькулятор делает это в столбик), перемножаем общие множители — получается НОД. Для НОК выписываем все множители первого числа и дописываем те множители второго, которых не хватило: 12 = 2 × 2 × 3, 18 = 2 × 3 × 3, не хватает одной тройки, НОК = 2 × 2 × 3 × 3 = 36. Ту же запись сокращают степенями: 2² × 3².

Способ 3 — алгоритм Евклида, самый быстрый для больших чисел. Делим большее число на меньшее с остатком, затем меньшее — на остаток, и так до тех пор, пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой остаток и есть НОД, а НОК после этого считают по формуле a × b : НОД.

НОД и НОК нескольких чисел находят по цепочке: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c), и точно так же для НОК — сначала считают значение для первой пары, затем берут результат вместе со следующим числом. По разложениям то же самое делают сразу: выписывают множители, общие у всех чисел, — это НОД, а для НОК берут множители первого числа и дописывают недостающие из каждого следующего по очереди. Калькулятор считает так два или три числа за один раз; для четырёх и больше посчитайте первые три, а потом подставьте ответ вместе со следующим числом.