Что такое диагональ и как распознать её на рисунке

Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. У стороны концы тоже находятся в вершинах, но эти вершины соседние. Поэтому диагональ определяют по концам отрезка, а не по его наклону на листе. В треугольнике таких пар нет, в четырёхугольнике их две. Длина зависит от формы и размеров фигуры. Например, у прямоугольника её находят по двум сторонам через теорему Пифагора; калькулятор ниже поможет проверить вычисление для своих размеров.

Как отличить диагональ от другого отрезка?#

Начните с вершин: соседними в многоугольнике называют те, которые соединены одной стороной, а отрезок между двумя несоседними вершинами будет диагональю. Где находятся оба конца? Если один попал в середину стороны, определение уже не выполнено.

Согласно учебнику Атанасяна и соавторов «Геометрия. 7–9 классы», для диагонали нужны именно две несоседние вершины. Вершины обычно обозначают буквами по порядку обхода контура. Поэтому в четырёхугольнике ABCD диагоналями служат AC и BD.

AB и BC здесь стороны: их концы соседние. Отрезок от A до середины BC стороной или диагональю не становится. Он может участвовать в другой конструкции задачи, но его концы нужно проверять заново по определению.

Положение на листе не входит в определение. Поверните тетрадь: прежний наклонный отрезок станет горизонтальным, но его концы сохранятся. Поэтому слово «наискосок» помогает представить бытовую ситуацию, однако для геометрической проверки нужны вершины.

У выпуклого многоугольника диагонали лежат внутри фигуры. У невыпуклого часть отрезка может оказаться снаружи. Это хорошо видно на рисунке с вогнутым контуром: отрезок по-прежнему соединяет нужную пару вершин.

Слово «диагональ» связано с латинским diagonalis, которое восходит к греческому diagonios, «идущий от угла к углу». Такое происхождение приводит Большой словарь иностранных слов на портале «Грамота». В геометрии бытовое «угол» уточняется до вершины фигуры.

У круга вершин нет, поэтому в обычной школьной геометрии его диагональ не определяют. Отрезок между двумя точками окружности называют хордой. Если он проходит через центр, это диаметр. У каждого понятия свои условия.

Сколько таких отрезков у многоугольника?#

Из одной вершины n-угольника можно соединиться с n − 1 другими вершинами. Две из них соседние: соединения с ними уже образуют стороны. Остаётся n − 3 диагонали из выбранной вершины.

Повторив подсчёт для всех n вершин, получим n(n − 3), причём каждый отрезок окажется учтён дважды: от одного конца и от другого. Нужна поправка на двойной счёт. Поэтому общее число N = n(n − 3) / 2.

Для шестиугольника получаем 6 × 3 / 2 = 9. Для восьмиугольника 8 × 5 / 2 = 20. Это число отрезков, а не число точек их пересечения. Несколько диагоналей могут проходить через одну точку, и это не меняет подсчёт пар вершин.

Треугольник даёт ноль по понятной причине: любая пара его вершин уже соединена стороной. В четырёхугольнике из одной вершины выходит одна диагональ, а всего их две. Смешивать эти два результата легко, поэтому подпишите, что именно считаете.

Ещё один способ получить формулу: сначала выбрать любые две вершины, затем убрать n сторон. Всего пар n(n − 1) / 2, значит N = n(n − 1) / 2 − n. После упрощения получается то же выражение n(n − 3) / 2.

Формула относится к подсчёту пар несоседних вершин. Форма простого многоугольника может меняться, а соседство вершин при том же контуре сохраняется. Поэтому для невыпуклой фигуры используется тот же подсчёт, включая отрезки, выходящие наружу.

Диагонали и разбиение на треугольники

Если из одной вершины выпуклого n-угольника провести все диагонали, внутри получится n − 2 треугольника. У шестиугольника три таких отрезка разделят область на четыре треугольника. Это отдельный результат: девять диагоналей всего и четыре части при выбранном разбиении.

Такое построение помогает изучать сумму углов многоугольника. Каждый треугольник даёт 180°, а вместе они заполняют исходную фигуру. Поэтому сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180° × (n − 2). В этой формуле считают треугольники, в формуле числа диагоналей пары вершин.

Свойства у разных четырёхугольников#

У прямоугольника диагонали равны и делятся пополам, а у ромба используют перпендикулярность и деление углов, хотя определение отрезка остаётся прежним. Квадрат объединяет свойства обеих фигур. Сравните условия в таблице.

Ромб определяют через четыре равные стороны, и квадрат тоже удовлетворяет этому условию, поэтому он относится к ромбам как частный случай. Фраза «у ромба диагонали всегда разной длины» исключила бы квадрат и оказалась неверной.

Прямоугольник может быть вытянутым или квадратным. Его диагонали равны в обоих случаях. Но прямой угол между ними возникает в квадрате. Для произвольного прямоугольника перпендикулярность утверждать нельзя.

По учебнику Атанасяна, диагонали ромба делят его углы пополам. Это позволяет получать прямоугольные треугольники с половинами диагоналей как катетами. Половина и целый отрезок будут играть разные роли в вычислениях.

Если уже дан прямоугольник, равенство диагоналей можно использовать как его свойство; для распознавания фигуры по известным данным нужен признак. Это обратное направление рассуждения. Одного равенства двух диагоналей четырёхугольника для вывода о прямоугольнике мало: нужны дополнительные условия.

Например, учебник формулирует признак для параллелограмма: равные диагонали делают его прямоугольником. Слово «параллелограмм» в условии существенно. У равнобедренной трапеции диагонали тоже равны, но она не превращается от этого в прямоугольник.

Как вычислить длину по сторонам?#

Проведите диагональ прямоугольника: она выделит прямоугольный треугольник, в котором стороны a и b станут катетами, а диагональ d гипотенузой. Роли отрезков теперь определены. Поэтому d² = a² + b² и d = √(a² + b²).

Для сторон 5 и 12 вычисление выглядит так: d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Эта тройка чисел приведена в учебнике Атанасяна среди пифагоровых треугольников. Длины сторон и диагонали нужно выражать в одной единице.

В калькуляторе выберите расчёт по двум сторонам, введите 5 и 12 и установите нужную единицу. Ожидаемый результат 13. Периметр при этих размерах равен 34, а площадь 60; это другие характеристики той же фигуры.

Если дана диагональ и одна сторона, формулу перестраивают: b = √(d² − a²). При d = 13 и a = 5 получаем b = √(169 − 25) = 12. Сначала выделите неизвестную величину, затем подставляйте числа.

В квадрате стороны равны, поэтому d = √(a² + a²) = a√2. Обратно — сторона a = d / √2. Коэффициент √2 получается из двух одинаковых квадратов сторон, а не из особого способа измерять отрезок.

У рамки с рисунка можно измерять внешние или внутренние размеры, но для одного расчёта нужны соответствующие стороны и соответствующие углы. Смешение внешней длины с внутренней шириной даст размеры другого прямоугольника.

Для произвольного параллелограмма формула √(a² + b²) по двум сторонам уже недостаточна: угол между сторонами может быть непрямым. В таком случае требуются дополнительные данные и другая геометрическая связь. Начинать всегда стоит с названия фигуры и условий задачи.

Три задачи из учебника#

В задачах 486, 493 и 494 учебника Атанасяна диагонали помогают найти сторону или другую диагональ. Условия ниже пересказаны кратко. Вычисления выполнены по свойствам соответствующих фигур.

Прямоугольник с известной диагональю

В задаче 486а дан прямоугольник ABCD: AB = 5, AC = 13. Требуется найти AD. Диагональ AC служит гипотенузой треугольника ABC, а BC = AD по свойству прямоугольника.

Получаем AD² = AC² − AB² = 13² − 5² = 144. Значит AD = 12. Ответ берётся положительным, поскольку находится длина стороны. Складывать 13 и 5 здесь не нужно: известны гипотенуза и один катет.

Ромб с двумя диагоналями

В задаче 493 диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Нужно найти его сторону и площадь. В точке пересечения каждая диагональ делится пополам, поэтому катеты одного из четырёх прямоугольных треугольников равны 5 см и 12 см.

Сторона ромба становится гипотенузой: a = √(5² + 12²) = 13 см. Площадь равна половине произведения диагоналей: S = 10 × 24 / 2 = 120 см². Ответ: сторона 13 см, площадь 120 см².

Заметьте, что 10 и 24 в этой задаче не стороны прямоугольника. Подставить их прямо в формулу для прямоугольной диагонали означало бы решить другую задачу. Нужны половины данных отрезков и свойства ромба.

Ромб с одной неизвестной диагональю

В задаче 494 сторона ромба равна 10 см, одна диагональ 12 см, поэтому её половина, служащая катетом, равна 6 см. Обозначим второй катет через x. Тогда x² + 6² = 10².

Получаем x² = 100 − 36 = 64, то есть x = 8 см. Полная вторая диагональ равна 2 × 8 = 16 см. Площадь S = 12 × 16 / 2 = 96 см². Удвоение найденного катета завершает решение.

1. Установите фигуру и известные отрезки
   Отметьте, что дано: сторона, целая диагональ или её половина.
2. Выделите прямоугольный треугольник
   Назовите катеты и гипотенузу. В прямоугольнике и ромбе они образуются по-разному.
3. Вернитесь к требуемой длине
   Если нашли половину диагонали, удвойте её. Для площади используйте квадратные единицы.

Отрезок на грани и внутри тела#

У многогранника различают диагональ отдельной грани и пространственную диагональ. Первая лежит на плоской грани и соединяет её несоседние вершины. Вторая соединяет вершины, которые не принадлежат одной грани.

В школьном определении диагонали многогранника используется условие об отсутствии общей грани. У прямоугольного параллелепипеда таких пространственных отрезков четыре. Они пересекаются в одной точке, и каждый делится этой точкой пополам.

На прямоугольной грани с рёбрами a и b длина диагонали d = √(a² + b²). Затем с третьим ребром c получается ещё один прямоугольный треугольник. Для пространственной диагонали D получаем D² = d² + c², то есть D = √(a² + b² + c²).

Условный пример: рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3, 4 и 12 см. На грани 3 × 4 см диагональ равна √(9 + 16) = 5 см. Пространственная длина D = √(5² + 12²) = √169 = 13 см.

У куба все рёбра равны a, поэтому диагональ грани равна a√2, а пространственная a√3, поскольку во втором случае складываются квадраты трёх одинаковых рёбер. Сопоставьте два результата в калькуляторе диагонали куба. Выбирайте показатель по отмеченным концам отрезка.

У куба шесть квадратных граней — на каждой две диагонали. Получается 12 диагоналей граней и отдельно 4 пространственные. Если в условии спрашивают число диагоналей куба, уточнение «граней» или «пространственных» определяет, какой ответ нужен.

Из одной вершины куба выходят три ребра, три диагонали граней и одна пространственная диагональ. Так можно проверить различие по числу остальных вершин: 3 + 3 + 1 = 7. Отрезок внутри тела выделяется условием об общей грани.

Почему одной диагонали экрана мало для размеров?#

У прямоугольного экрана диагональ соединяет противоположные углы области изображения. В характеристиках её часто указывают в дюймах. По данным NIST, международный дюйм точно равен 25,4 мм, то есть 2,54 см.

Условный пример: диагональ равна 27 дюймам, соотношение ширины к высоте 16:9. Переводим длину: d = 27 × 2,54 = 68,58 см. Это размер от угла к противоположному углу, а не ширина экрана.

Обозначим ширину 16k, высоту 9k. Тогда d² = (16k)² + (9k)² = 337k², откуда k = d / √337. Ширина равна 16d / √337, высота 9d / √337.

Подставляя 68,58 см, получаем ширину примерно 59,77 см и высоту примерно 33,62 см. Для другого соотношения сторон при той же диагонали размеры изменятся. Вытянутый и почти квадратный прямоугольники могут иметь одинаковую диагональ.

У лиса свободная лента обвилась вокруг хвоста, но в измерение входит только прямой участок между углами. Обводить рулеткой рамку для поиска диагонали было бы другой операцией. Это уже движение вдоль границы, а не измерение нужного отрезка.

Для расчёта своих размеров можно использовать калькулятор размера экрана. Введите диагональ и соотношение сторон. Параметры корпуса и подставки ищут отдельно в характеристиках устройства: они выходят за границы области изображения.

Как проверить себя на рисунке?#

В заданиях сначала назовите фигуру и концы отрезка, а для поиска длины выберите геометрическую связь между известными и неизвестными величинами. После этого выполняйте вычисление. В конце проверьте единицы.

Если определения понятны, а трудности остаются в выборе треугольника, ищите практику по планиметрии и стереометрии в разделе «Математика для школьников» каталога курсов. Сопоставьте темы программы с теми заданиями, где возникла ошибка.

Ошибки при использовании свойств#

Уточнение фигуры часто важнее подстановки числа. Диагональ может быть гипотенузой в одном треугольнике и частью другого построения. Поэтому перед вычислением полезно проговорить, какие стороны образуют прямой угол.

В смешанных единицах сначала приведите длины к одной мере. Например, 5 см и 120 мм соответствуют сторонам 5 см и 12 см. Если возвести в квадрат числа 5 и 120 без перевода, получится диагональ совершенно другого прямоугольника.

Поворот изображения сохраняет фигуру: даже если квадрат после этого похож на «ромбик», длины и взаимное положение диагоналей остаются прежними. Привычное положение рисунка может сбить. Вернитесь к определению и данным задачи.

Вывод#

Диагональ многоугольника узнают по двум несоседним вершинам. Для подсчёта используют n(n − 3) / 2, для длины сначала устанавливают свойства фигуры. У прямоугольника со сторонами 5 и 12 диагональ равна 13. Проверьте свои размеры в калькуляторе, сохраняя одинаковые единицы.