Параллелепипед — это призма, основания которой представляют собой параллелограммы. У него 6 граней-параллелограммов, 12 рёбер и 8 вершин. Прямоугольная коробка показывает один частный случай, а куб ещё более специальный. В общем случае углы могут быть косыми. Ниже разберём виды и элементы фигуры, затем выберем формулы для площади, объёма и диагонали. Для прямоугольного случая расчёт по трём размерам можно проверить инструментом.
Что называют параллелепипедом в геометрии?
Представьте параллелограмм и его равную копию в параллельной плоскости. Соединив соответствующие вершины параллельными равными отрезками, получим призму. Поскольку основание четырёхугольное и является параллелограммом, эта призма будет параллелепипедом.
Согласно пособию К. А. Великородновой и И. В. Прояевой, параллелепипед представляет частный случай призмы. В более широком классе основание может быть другим многоугольником. Различие подробно разобрано в статье о призмах в геометрии, а здесь нас интересует именно основание-параллелограмм.
Прямоугольник тоже относится к параллелограммам. Поэтому прямоугольный параллелепипед подходит под общее определение. Квадрат подходит под него по той же причине, но форма основания ещё не определяет наклон боковых рёбер.
Фигура в пространстве и фигура на плоскости
Параллелограмм плоский, а параллелепипед занимает объём, причём его грань можно представить как участок плоскости, а ребро как отрезок на стыке двух граней. Вершина находится там, где сходятся рёбра.
Объёмную фигуру на странице изображают в проекции. Поэтому прямоугольная грань часто выглядит на рисунке косым параллелограммом. Условия задачи, обозначения и заданные свойства определяют геометрию точнее, чем видимый угол на бумаге.
- Найдите пару оснований, которые являются равными параллелограммами.
- Проверьте, что соответствующие вершины соединены параллельными равными рёбрами.
- Прямые углы устанавливайте по условию и свойствам названного вида.
Происхождение названия
Слово происходит от древнегреческого παραλληλεπίπεδον. Его составляющие связаны с параллельностью и плоскостью; такое объяснение даёт и словарь Ушакова. Название напоминает о парах граней в параллельных плоскостях.
В слове много похожих слогов, однако геометрический смысл компактнее написания. Достаточно удержать связь с параллелограммом и пространственным телом. Это помогает отличать два близко звучащих термина по существу.
Сколько граней, рёбер, вершин и диагоналей?
Выберем основание ABCD и соответствующее ему основание A₁B₁C₁D₁, чтобы полное обозначение тела записать как ABCDA₁B₁C₁D₁. При такой записи AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ обозначают боковые рёбра.
| Элемент | Количество | Как получить число |
|---|---|---|
| Грани | 6 | Два основания и четыре боковые грани |
| Рёбра | 12 | Четыре в каждом основании и четыре боковых |
| Вершины | 8 | Четыре в каждом основании |
| Пространственные диагонали | 4 | Каждая соединяет две противоположные вершины |
| Диагонали всех граней | 12 | На каждой из шести граней по две |
Последние две строки описывают разные отрезки. Диагональ грани лежит на одной грани. Пространственная диагональ соединяет вершины, которые не принадлежат одной грани, и проходит внутри тела между ними.
Что сохраняется у разных видов
Противоположные грани попарно параллельны и равны, а рёбра образуют три группы по четыре параллельных равных отрезка независимо от наличия прямых углов. Это общие свойства параллелепипеда.
Все четыре пространственные диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. По информации учебного пособия Оренбургского педагогического университета, это свойство относится к общему случаю. Равенство длин всех диагоналей добавляется у прямоугольного параллелепипеда.
Для прямоугольного тела каждая пространственная диагональ длиннее любой из трёх диагоналей граней, построенных по его размерам. Доказательство получится из формулы: под корнем добавляется квадрат положительного третьего размера. Для произвольного наклонного тела такую формулу трёх квадратов применять нельзя.
Основание выбирают в зависимости от задачи
У параллелепипеда можно выбрать основаниями любую пару противоположных граней. В обозначениях и формуле объёма важно сохранить этот выбор. Высота тогда означает расстояние именно между соответствующими плоскостями.
Если положить прямоугольную коробку на другую грань, её объём останется прежним. Изменятся названия размеров: бывшая высота может стать длиной основания. Геометрические отрезки при повороте сохраняют свои длины.
💡 Интересный факт
В 1758 году была опубликована работа Леонарда Эйлера «Elementa doctrinae solidorum» о свойствах многогранников. Для выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней равно 2. У параллелепипеда получается 8 − 12 + 6 = 2. Это частный пример общей связи между элементами разных многогранников.
Источники: Euler Archive, карточка работы E230; математический справочник MathWorld, Euler Characteristic.
Виды: от общего случая к кубу
Классификацию удобно читать как последовательность дополнительных условий: сначала устанавливают направление боковых рёбер, затем форму основания и равенство размеров, постепенно сужая класс фигур.
Наклонный параллелепипед. Боковые рёбра не перпендикулярны плоскости выбранного основания. При таком выборе высоту проводят отдельно как перпендикуляр между плоскостями оснований.
Прямой параллелепипед. Боковые рёбра перпендикулярны основанию. Четыре боковые грани прямоугольные, а основание может оставаться непрямоугольным параллелограммом. Высота равна боковому ребру.
Прямоугольный параллелепипед. Прямой параллелепипед с прямоугольником в основании. Все его грани прямоугольные, а три ребра из одной вершины попарно перпендикулярны.
Куб. Прямоугольный параллелепипед с тремя равными измерениями. У него шесть равных квадратных граней и все рёбра равны.
Согласно «Практикуму по геометрии» ИРО Краснодарского края, у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней прямоугольные. Поэтому слова «прямой» и «прямоугольный» здесь дают разные сведения. Только прямое боковое ребро не превращает произвольное основание в прямоугольник.
Что означает равенство рёбер
Три равных измерения прямоугольного тела дают куб. Если прямые углы не установлены, равенство всех рёбер допускает другой параллелепипед с ромбами в гранях. Такую фигуру называют ромбоэдром.
Для учебного ответа о кубе нужно назвать и прямоугольность, и равенство рёбер, поскольку без первого признака существенная часть условия потеряется. Короткая запись: прямоугольный параллелепипед, a = b = c.
Как читать задачу по рисунку
Сначала выпишите название фигуры из условия. Затем отметьте, какие углы прямые и какие отрезки равны по этому названию. Дополнительные отметки на чертеже дополняют эти свойства, а не заменяют определение.
Такой порядок особенно полезен, когда куб изображён с «косыми» рёбрами для передачи объёма. Прямой угол в пространстве на плоской странице способен выглядеть острым. Это свойство изображения, а не новое условие задачи.
Какую формулу выбрать для объёма и площади?
Для любого параллелепипеда объём равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн · h. Высота h представляет перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Если тело наклонное, длина бокового ребра обычно больше этой высоты.
Полную поверхность любого параллелепипеда можно найти через площади трёх разных смежных граней: S = 2(S₁ + S₂ + S₃). Противоположная грань равна соответствующей смежной, поэтому каждую площадь берут дважды. Саму площадь параллелограмма считают с учётом его высоты или угла.
Прямоугольный случай
Обозначим три ребра из одной вершины как a, b и c. В таблице основанием выбран прямоугольник со сторонами a и b, а высотой служит c. Все размеры предварительно приводят к одной единице длины.
| Величина | Формула для прямоугольного тела | Единицы результата |
|---|---|---|
| Площадь основания | Sосн = ab | Квадратные |
| Полная поверхность | S = 2(ab + ac + bc) | Квадратные |
| Боковая поверхность | Sбок = 2c(a + b) | Квадратные |
| Объём | V = abc | Кубические |
| Пространственная диагональ | d = √(a² + b² + c²) | Единицы длины |
Полная поверхность включает все шесть граней, тогда как боковая при выбранном основании охватывает четыре оставшиеся грани и зависит от выбора оснований. Для открытой коробки или ёмкости без крышки отдельно учитывают, какие поверхности нужны.
Почему появляется сумма трёх произведений
У прямоугольного параллелепипеда есть две грани площадью ab, две площадью ac и две площадью bc. Сложим эти площади: ab + ab + ac + ac + bc + bc. Вынесение двойки даёт компактную формулу полной поверхности.
Развёртка показывает те же шесть прямоугольников на плоскости. Длина линии разреза и площадь бумаги являются разными величинами. На упаковочном столе длинная лента может выглядеть убедительно, но квадратные сантиметры ею ещё предстоит посчитать.
В калькулятор площади параллелепипеда введите a, b и c прямоугольного тела в общей единице. Он покажет полную и боковую площадь, основание, объём и диагональ. По парам граней удобно проверить, откуда получилась сумма.
Общий случай на числах
Условный пример: площадь основания наклонного параллелепипеда 12 см², а расстояние между плоскостями оснований 5 см. Объём равен 12 · 5 = 60 см³. Наклон боковых рёбер уже учтён выбором перпендикулярной высоты.
Одних длин трёх произвольных рёбер общего параллелепипеда для такого расчёта недостаточно. Нужны сведения об их взаимном расположении, позволяющие получить площадь основания и высоту. Поэтому перед подстановкой проверяют не только числа, но и геометрический вид.
Три задачи из опубликованного практикума
Возьмём условия из занятия 9 «Практикума по геометрии. 10 класс» ИРО Краснодарского края, изданного в 2024 году. Ниже приведены самостоятельные решения задач 58а, 59а и 61а. В каждой требуется своя величина, поэтому сначала назовём её единицы и формулу.
Задача 58а: полная поверхность
Размеры прямоугольного тела: 6,1 см; 7 см; 3,5 см. Требуется площадь всей поверхности. Для этого считаем площади трёх разных граней:
- ab = 6,1 · 7 = 42,7 см²;
- bc = 7 · 3,5 = 24,5 см²;
- ac = 6,1 · 3,5 = 21,35 см².
Их сумма равна 88,55 см². Каждая из этих граней имеет равную противоположную, значит S = 2 · 88,55 = 177,1 см². Удвоение относится ко всей сумме.
Полезна проверка размерности. Каждое произведение двух длин даёт площадь, а сложение и умножение на два оставляют квадратную единицу. Если в ответе получились кубические сантиметры, была выбрана другая формула.
Задача 59а: объём аквариума
В задаче задан прямоугольный аквариум с размерами 60 × 20 × 50 см. Рассчитаем геометрический объём: V = 60 · 20 · 50 = 60 000 см³. Поскольку 1 л равен 1000 см³, получаем 60 л.
Здесь определяют пространство внутри заданного математического тела. Выбор формулы объёма следует из вопроса задачи, а перевод в литры выполняется после расчёта кубических сантиметров, чтобы сохранить единицы на промежуточных шагах.
Для самостоятельного расчёта по трём размерам используйте калькулятор объёма коробки. В бытовом измерении ёмкости задавайте внутренние размеры, а рабочий уровень заполнения учитывайте отдельно от полной высоты.
Задача 61а: пространственная диагональ
Три ребра из одной вершины имеют длины 20, 30 и 60 в общей единице. Найдём квадрат диагонали: d² = 20² + 30² + 60² = 400 + 900 + 3600 = 4900. Тогда d = √4900 = 70 единиц длины.
В опубликованном условии единица не названа. Поэтому не будем дописывать сантиметры или метры: ответ выражен в тех же единицах, что исходные размеры. Это помогает сохранить точность условия.
Для проверки сравним величины. Диагональ больше самого длинного ребра 60, но меньше суммы всех трёх рёбер 110. Эти неравенства не доказывают точность числа 70, зато помогают заметить грубую ошибку.
Почему диагональ грани короче пространственной?
Рассмотрим прямоугольное тело с размерами a, b и c. В основании диагональ e находится по теореме Пифагора: e² = a² + b². Вместе с высотой c она образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого служит пространственная диагональ.
Повторно применим теорему: d² = e² + c². Подстановка первой формулы даёт d² = a² + b² + c². Так сумма трёх квадратов получается из двух плоских прямоугольных треугольников.
При c > 0 к e² прибавляется положительное число, поэтому d > e; так же сравниваются диагонали двух других видов граней. Равными могут оказаться диагонали разных граней, если соответствующие размеры совпадают.
- Для прямоугольника a × b: √(a² + b²).
- Для прямоугольника a × c: √(a² + c²).
- Для прямоугольника b × c: √(b² + c²).
В калькуляторе диагонали прямоугольного параллелепипеда эти три значения показаны отдельно от пространственной диагонали. Сначала выберите нужный отрезок на чертеже, затем сравнивайте соответствующий результат.
Отрезок внутри коробки
Для идеальной прямоугольной полости пространственная диагональ задаёт наибольшее расстояние между двумя её точками. Поэтому длинный тонкий стержень иногда помещается по диагонали, хотя вдоль любого отдельного ребра ему тесно. Поворот меняет используемое направление.
В бытовой примерке дополнительно важны толщина стержня, внутренние размеры и возможность провести его через отверстие. Геометрический расчёт описывает предельный отрезок внутри уже выбранного тела. Порядок помещения предмета является следующей практической задачей.
Коробка может хранить больше направлений, чем подсказывает первое движение «положить вдоль стенки». Сначала стержень упирается, затем достаточно рассмотреть другое положение. Такой поворот делает пространственную диагональ вполне осязаемой.
Формулы куба
У куба все три измерения равны a. Общая формула прямоугольного тела упрощается: V = a³, S = 6a², диагональ грани a√2, пространственная диагональ a√3. Каждая запись получается подстановкой равных размеров.
Для проверки площади по одному ребру есть калькулятор поверхности куба. Он подходит к частному случаю с шестью равными квадратными гранями. Для разных размеров возвращайтесь к общей прямоугольной формуле.
Порядок решения и частые ошибки
Тип фигуры определяет допустимую формулу, а вопрос задачи определяет искомую величину, поэтому подготовку к вычислению начинают с чтения условия и обозначений на чертеже. Затем остаются единицы и арифметика.
- Установите вид телаНайдите в условии прямоугольность, перпендикулярность, равенство рёбер. Отметьте их на собственном чертеже.
- Назовите искомоеОбъём, полная или боковая площадь, диагональ грани либо пространственная диагональ требуют разных записей.
- Согласуйте единицыПриведите все длины к одной единице. После вычисления отдельно переведите квадратные или кубические единицы.
- Проверьте смысл результатаСопоставьте порядок величин с чертежом. Для длины, площади и объёма сохраните соответствующую размерность.
Высоту принимают за наклонное ребро. В формуле V = Sосн · h нужна перпендикулярная высота. У прямого тела она совпадает с боковым ребром; при наклоне это различие нужно отразить на чертеже.
Считают только три грани. Сумма ab + ac + bc охватывает по одной грани каждого вида. Для полной поверхности прямоугольного тела нужна вся сумма с множителем 2. Наглядная проверка находится в развёртке.
Путают квадратные и кубические единицы. Если 1 м = 100 см, то 1 м² = 10 000 см², а 1 м³ = 1 000 000 см³. Коэффициент перехода тоже возводится в соответствующую степень.
Восстанавливают условие по перспективному рисунку. Косой вид грани на странице допускается при изображении прямоугольного тела. Используйте названные свойства и отметки. Размер угла на печатной проекции не служит исходным измерением задачи.
Проверьте понимание на коротких заданиях
Сначала определите, какая информация нужна, затем считайте. Условия заданий на самопроверку заданы для этой статьи. Каждый ответ открывается отдельно, поэтому можно остановиться на нужном месте.
1. Любая ли четырёхугольная призма будет параллелепипедом?
Ответ: Нет. Её основание должно быть параллелограммом, а произвольный четырёхугольник может им не быть.
2. Сколько рёбер находится вне двух выбранных оснований?
Ответ: Четыре боковых ребра. Ещё восемь составляют границы двух оснований, всего получается двенадцать.
3. Прямой параллелепипед обязательно прямоугольный?
Ответ: Нет. В прямом случае боковые рёбра перпендикулярны основанию. Для прямоугольного требуется также прямоугольное основание.
4. Найдите объём прямоугольного тела с рёбрами 2, 3 и 4 см.
Ответ: V = 2 · 3 · 4 = 24 см³. Нужна кубическая единица, поскольку перемножаются три длины.
5. Чему равна полная поверхность того же тела?
Ответ: S = 2(2 · 3 + 2 · 4 + 3 · 4) = 2(6 + 8 + 12) = 52 см².
6. У куба ребро 5 см. Найдите его объём и поверхность.
Ответ: V = 5³ = 125 см³. S = 6 · 5² = 150 см². Числа относятся к разным величинам.
7. AC и AC₁ в стандартном обозначении являются одним видом диагонали?
Ответ: AC лежит в основании ABCD. AC₁ соединяет противоположные вершины тела и является пространственной диагональю.
8. Площадь основания 8 см², перпендикулярная высота 3 см. Каков объём?
Ответ: V = 8 · 3 = 24 см³. Формула подходит и для наклонного параллелепипеда при правильно заданной высоте.
Если хотите продолжить занятия по пространственным фигурам, сравните программы в разделе «Математика для школьников» каталога курсов. Для этой темы полезна практика чтения чертежей, доказательств и решения задач с разными исходными данными.
Вывод
Параллелепипед имеет 6 граней-параллелограммов, 12 рёбер и 8 вершин, а прямоугольный вид и куб входят в этот класс. Сначала установите вид фигуры и искомую величину, затем выбирайте формулу и согласуйте единицы. Для прямоугольного тела проверьте расчёт по трём рёбрам в калькуляторе.