Трапеция: как распознать фигуру на любом чертеже

Трапеция — это четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а другая непараллельна. Параллельные стороны называют основаниями, остальные две — боковыми. Так фигуру определяют в российском школьном курсе. Её можно повернуть или нарисовать с прямым углом: решает взаимное расположение сторон. Ниже разберём элементы, виды и свойства трапеции, чтобы узнавать её на чертеже и выбирать нужные данные для задачи.

Что отличает трапецию от других четырёхугольников?#

Проверьте две пары противоположных сторон. У трапеции одна пара лежит на параллельных прямых, а вторая на непараллельных. Четыре стороны и условие параллельности вместе определяют фигуру. Внешний вид «похоже на крышу» для этого слишком неточен.

Согласно учебнику А. П. Киселёва «Геометрия», основания трапеции параллельны, боковые стороны непараллельны. Это определение позволяет отделить её от параллелограмма. У параллелограмма параллельны обе пары противоположных сторон.

Параллельными называют прямые в одной плоскости, которые не пересекаются. Сами стороны имеют конечную длину, поэтому проверяют прямые, содержащие эти отрезки. Две короткие линии могут просто не дотягиваться до точки пересечения.

Есть и более широкое соглашение: трапецией называют четырёхугольник хотя бы с одной парой параллельных сторон. Тогда внутрь класса попадает параллелограмм. В этой статье используется российское школьное определение с ровно одной парой; условие учебника или задачи имеет приоритет.

Почему это уточнение нужно новичку? В иностранном справочнике набор частных случаев может оказаться другим. Сначала сопоставляют определения, затем свойства. Иначе спор о названии подменит геометрическое рассуждение.

У привычной выпуклой трапеции четыре вершины и четыре внутренних угла. Выпуклость означает, что отрезок между любыми двумя точками фигуры целиком остаётся внутри неё. Для школьных задач обычно рисуют именно такой четырёхугольник.

Как найти основания и боковые стороны?#

Основания образуют параллельную пару. У трапеции ABCD на нашем рисунке это AD и BC. Боковыми будут AB и CD. Буквы в названии перечисляют по обходу контура, поэтому соседние буквы обозначают соседние вершины.

В учебнике Киселёва на рисунке 108 приведён именно такой пример обозначений: AD и BC названы основаниями. Это настоящий учебный образец чтения чертежа. На другом рисунке буквы могут стоять иначе, поэтому сначала проверяют параллельность.

Высота — это перпендикулярный отрезок между прямыми оснований или длина этого отрезка. Перпендикуляр образует с основанием прямой угол. Все такие расстояния между двумя параллельными прямыми одинаковы.

Высоту можно провести из вершины или из другой подходящей точки основания. Её положение на рисунке меняется, а длина остаётся прежней. В некоторых чертежах основание приходится продолжить, чтобы показать основание перпендикуляра.

У одной фигуры одновременно есть боковые стороны и высота. Наклонная сторона обычно длиннее соответствующей высоты: она идёт по диагональному пути между параллельными линиями. В прямоугольной трапеции одна боковая сторона сама служит высотой.

Положите бумажную трапецию на стол и поверните лист. Боковая сторона может оказаться почти горизонтальной, а основание вертикальным. Названия элементов сохраняются: их определяет связь сторон, а не направление края страницы.

Три вида одной фигуры#

По дополнительным условиям различают трапецию общего вида, равнобедренную и прямоугольную. Сначала фигура должна подходить под определение трапеции. Затем равенство боковых сторон или прямой угол позволяют использовать более сильные свойства.

Равнобедренную трапецию также называют равнобокой. Её боковые стороны равны. Если нижнее основание длиннее верхнего, типичный рисунок выглядит симметрично относительно перпендикуляра через середины оснований.

Согласно справочнику MathWorld, у равнобедренной трапеции равны углы при основании. Равенство относится к двум углам, опирающимся на одно основание. Другая пара углов тоже равна между собой, но обычно имеет другую величину.

Прямоугольной называют трапецию, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. У неё два прямых угла: по одному у каждого конца этой стороны. Это следует из параллельности оснований.

У оставшейся боковой стороны углы дополняют друг друга до развёрнутого. Если один из них острый, другой тупой. Поэтому словосочетание «прямоугольная трапеция» описывает наличие прямых углов, а не превращение всей фигуры в прямоугольник.

В школьном определении прямоугольная трапеция с разными основаниями не бывает одновременно равнобедренной. Её наклонная боковая сторона длиннее перпендикулярной. Если обе боковые стороны сделать перпендикулярными основаниям, получится прямоугольник с другой классификацией.

Красивый симметричный рисунок не добавляет условие равенства. В задаче нужны отметки, слова или доказательство. Иначе вы незаметно решите более удобную задачу вместо заданной.

Какие углы в сумме дают 180 градусов?#

У трапеции дополняют друг друга до 180° два внутренних угла, прилегающих к одной боковой стороне. Пара оснований здесь играет роль параллельных прямых, а боковая сторона роль секущей. Поэтому свойство относится к определённой паре углов, а не к любым двум.

Секущая — это прямая, пересекающая две другие прямые. В первой книге «Начал» Евклида предложение 29 связывает параллельность с суммой односторонних внутренних углов. Применённое к основаниям трапеции, оно даёт нужное школьное правило.

Для обозначений ABCD с основаниями AD и BC получаем две записи: ∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180°. У каждой суммы общая боковая сторона. У первой AB, у второй CD.

Пусть ∠A равен 58°. Тогда соседний с ним угол при той же боковой стороне равен 180° − 58° = 122°. Другие два угла без дополнительных сведений по отдельности не определяются.

Если трапеция равнобедренная, появляется ещё один шаг. Углы при нижнем основании равны, поэтому ∠D = ∠A. Затем второй верхний угол равен первому верхнему. Получили весь набор через два свойства, а не только через сумму углов четырёхугольника.

Сумма всех четырёх внутренних углов равна 360°, как у любого выпуклого четырёхугольника. Но одной этой общей суммы редко достаточно, чтобы найти отдельный угол. Параллельность оснований даёт более точную связь.

Диагональ и средняя линия решают разные задачи#

Диагональ соединяет противоположные вершины, средняя линия середины боковых сторон. У трапеции две диагонали, а средняя линия в этом определении одна. Эти отрезки различаются и расположением, и свойствами.

У фигуры ABCD диагонали обозначают AC и BD. Обычно они пересекаются под произвольным углом. По данным MathWorld, у равнобедренной трапеции диагонали имеют одинаковую длину. Перпендикулярность или деление пополам требуют своих оснований.

Второй настоящий пример из учебника Киселёва связан с рисунком 109. Отрезок EF соединяет середины боковых сторон. В параграфе 99 доказано, что он параллелен основаниям и равен их полусумме.

Например, при основаниях 6 см и 12 см средняя линия равна (6 + 12) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9 см. Это длина отрезка, поэтому единица линейная. Для площади к средней линии добавляют высоту.

Если известны средняя линия и одно основание, второе можно восстановить. При средней линии 9 см и меньшем основании 6 см сумма оснований равна 2 × 9 = 18 см. Второе основание: 18 − 6 = 12 см.

Подробное доказательство и обратные задачи есть в статье о средней линии трапеции. Здесь достаточно научиться находить её на чертеже: ищите середины двух боковых сторон.

Середины оснований задают другой отрезок. Он может быть полезен в отдельных построениях, но называется иначе. Проверка концов отрезка спасает от формулы, применённой к чужой линии.

Как доказать, что на чертеже трапеция?#

Нужно установить параллельность одной пары противоположных сторон и исключить параллельность второй. Если условие прямо называет фигуру трапецией, это уже дано. При доказательстве по рисунку сведения придётся получить из отметок или свойств углов.

Одна из доступных проверок связана с односторонними внутренними углами. Если их сумма равна развёрнутому углу, соответствующие прямые параллельны. Затем проверяют вторую пару, чтобы отделить трапецию от параллелограмма.

1. Уточните исходные сведения
   Отделите то, что дано словами или отметками, от того, что только кажется по рисунку.
2. Найдите параллельную пару
   Используйте отметки параллельности либо доказанное условие об углах при секущей.
3. Проверьте оставшиеся стороны
   Для школьного определения требуется одна пара. Если обе пары параллельны, перед вами параллелограмм.
4. Добавьте вид фигуры
   Равные боковые стороны дают равнобедренную трапецию, а прямой угол позволяет выделить прямоугольную.

Есть полезный частный путь. Если противоположные стороны уже параллельны и имеют разные длины, четырёхугольник не может быть параллелограммом. У параллелограмма противоположные стороны равны. Поэтому оставшаяся пара будет непараллельной.

В клетчатой тетради горизонтальные или вертикальные стороны удобно сравнивать по направлениям сетки. Для наклонных отрезков можно смотреть, сколько клеток они проходят по горизонтали и вертикали. Одинаковое отношение этих перемещений указывает одно направление прямых.

При работе с координатами горизонтальная сторона имеет одинаковые координаты y у концов. Две такие стороны лежат на параллельных горизонтальных прямых, если значения y различны. Этим приёмом легко построить собственный пример без транспортира.

Например, возьмите A(0; 0), B(3; 4), C(7; 4), D(10; 0). AD и BC горизонтальны. Их длины 10 и 4 единицы, поэтому фигура подходит под школьное определение трапеции.

Разность координат вдоль каждой боковой стороны даёт перемещения 3 и 4 единицы. Обе боковые стороны имеют длину 5 единиц по теореме Пифагора. Получилась равнобедренная трапеция, свойства которой можно проверить вычислением.

Разобранные задачи на свойства#

Для каждой задачи сначала выберите свойство, а затем подставляйте числа. Название фигуры даёт общие связи, дополнительные слова определяют частный случай. Такой порядок полезнее попытки сразу вспомнить длинную формулу.

Углы равнобедренной трапеции

Дан нижний угол 65°. Второй угол при нижнем основании тоже равен 65°, потому что боковые стороны равны. Каждый верхний угол дополняет нижний при своей боковой стороне до 180°.

Вычисляем: 180° − 65° = 115°. Получили два угла по 65° и два по 115°. Проверка общей суммы: 65° + 65° + 115° + 115° = 360°.

Высота через боковую сторону

Возьмём построенную выше равнобедренную трапецию с основаниями 4 и 10, боковыми сторонами 5. Опустим перпендикуляры из верхних вершин на большее основание. По краям появятся два равных прямоугольных треугольника.

Разность оснований равна 10 − 4 = 6. На каждый край приходится 6 ÷ 2 = 3. В маленьком треугольнике гипотенуза равна 5, горизонтальный катет 3, а вертикальный катет и есть высота.

По теореме Пифагора квадрат высоты равен 5² − 3² = 25 − 9 = 16. Значит, высота равна 4. Все длины здесь заданы в одной условленной единице; высота и боковая сторона получились разными.

Периметр и площадь одного чертежа

Для той же фигуры периметр складывается из четырёх сторон: 4 + 10 + 5 + 5 = 24 единицы длины. Средняя линия равна (4 + 10) ÷ 2 = 7. Площадь найдём умножением на высоту: 7 × 4 = 28 квадратных единиц.

Периметр описал весь обход границы, площадь внутреннюю область. Формулы использовали разные данные. Расчёт проверяется по координатной модели из предыдущего раздела.

Проверить вычисление можно в карточке инструмента: внесите основания и высоту. Третий пример из опубликованных справочников связан с MathWorld: там формула площади записана и через полусумму оснований, и через среднюю линию. Это два выражения одного результата.

Полный выбор способов расчёта вынесен в материал о площади трапеции. Он пригодится, когда исходные данные даны через диагонали или известны только стороны. В статье о самой фигуре достаточно различать величины.

Почему фигуру можно узнать после поворота?#

Поворот сохраняет углы, длины и параллельность. Поэтому трапеция остаётся трапецией, даже если большее основание оказалось сверху или сбоку. Верх и низ относятся к положению картинки, основания к геометрической связи сторон.

Вырежьте трапецию из плотной бумаги и переверните деталь на столе. Параллельная пара никуда не исчезла. Рисунок просто поменял ориентацию. Именно это помогает избавиться от привычки искать только знакомую «расширенную книзу» форму.

С фотографией предмета дело сложнее. Прямоугольная поверхность в перспективе может выглядеть трапециевидной. Тогда изображение описывает вид из точки наблюдения, а не точную форму поверхности в её собственной плоскости.

Поэтому фотографию стола или окна используют как повод обсудить форму, а доказательство строят по измерениям и геометрической модели. Уличная вывеска на снимке ещё не задаёт условия учебной задачи. Ракурс умеет убедительно притворяться геометрией.

Историческое название полезно знать для чтения старых книг. При решении современной задачи действуют определения используемого курса. Два автора могут обсуждать одинаковые линии, но проводить границу между названиями классов по-разному.

Ошибки при чтении чертежа#

Больше всего промахов возникает, когда рисунок незаметно добавляет сведения к условию. Кажется, что боковые стороны равны, диагонали пересекаются красиво, а высота совпадает с заметным отрезком. Проверьте, какие из этих свойств действительно заданы.

При вычислении площади такая подмена особенно заметна. В разобранной фигуре боковая сторона длиннее высоты. Если использовать её вместо перпендикулярного расстояния, покрываемая область получится завышенной.

Даже ровно начерченная фигура может быть схематической. Одинаково выглядящие отрезки в условии обозначают разными буквами без знаков равенства. При доказательстве внешний вид остаётся подсказкой для идеи, а основанием служат данные.

Ученик часто смотрит на ближайшую пару чисел и складывает именно её. Полезно закрыть числа пальцем, назвать нужную пару буквами и только потом вернуть значения. Черновик сразу станет спокойнее.

Проверьте себя на шести вопросах#

Назовите правило, которое даёт ответ. Если чисел недостаточно, так и скажите: умение увидеть недостающие данные тоже часть решения. Ответы раскрываются по одному.

Для систематической тренировки можно подобрать занятия по математике для школьников. При выборе программы смотрите, чтобы решения включали работу с чертежом и объяснение свойств. Одного запоминания формул для геометрии мало.

Вывод#

Узнавайте трапецию через параллельность, затем отмечайте основания и боковые стороны. Дополнительные условия дают её вид, а перпендикуляр между основаниями определяет высоту. После этого легче выбрать пару углов, найти среднюю линию и проверить расчёт площади.

Возьмите собственный чертёж и подпишите элементы до подстановки чисел. Для проверки площади используйте основания и высоту в одной единице длины. Следующий разбор в карте темы поможет перейти к конкретному типу задачи.