Что такое тангенс и как выбрать катеты для расчёта

Тангенс острого угла — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего в прямоугольном треугольнике. Он показывает, во сколько раз подъём больше горизонтального продвижения, если угол отсчитывают от горизонтали. При равных катетах тангенс равен 1, а сам угол равен 45°. Чтобы применить правило, сначала отметьте нужный угол: у второго острого угла те же стороны поменяются ролями. Дальше разберём выбор сторон, точные значения и переход к углам за пределами треугольника.

Сначала выберите угол, затем катеты#

В прямоугольном треугольнике два катета образуют прямой угол, равный 90°, а третья сторона лежит напротив этого угла и называется гипотенузой. Для тангенса острого угла нужны именно два катета; их роли определяются положением выбранного угла.

Пусть в треугольнике ABC прямой угол находится у вершины C, а нужный острый угол у вершины A. Сторона BC лежит напротив A, поэтому она противолежащая. Сторона AC касается угла A и служит прилежащим катетом. Получаем tg A = BC / AC.

Согласно учебнику «Геометрия. 7–9 классы» Атанасяна и соавторов, тангенс острого угла определяется таким отношением в пункте 67. Слово «отношение» означает деление одной длины на другую. Это обычное число, которое зависит от величины угла.

Если перейти к углу B, противолежащей станет AC, а прилежащей BC. Тогда tg B = AC / BC. Названия сторон меняются, потому что поменялась точка, из которой рассматривается треугольник.

Длины до деления выражают в одинаковых единицах. Отношение сантиметров к сантиметрам даёт безразмерное число. Тангенс не измеряют в сантиметрах и не подписывают знаком градуса. Градусы относятся к аргументу, то есть к углу внутри записи tg.

Словарь иностранных слов на портале Грамота связывает название с латинским tangens, «касающийся». Связь с касательной станет видна на окружности. В школьных формулах пишут tg α, а на многих калькуляторах tan α. Обе записи обозначают одну функцию.

Почему размер треугольника не меняет результат?#

У прямоугольных треугольников с одинаковым острым углом отношения соответствующих сторон равны, потому что фигуры подобны: их форма одинакова, а масштаб может различаться. Поэтому тангенс описывает угол независимо от того, насколько большим нарисован треугольник.

Например, отношение катетов 3 / 4 равно 0,75. Если обе стороны увеличить вдвое, получится 6 / 8 = 0,75. При увеличении втрое отношение 9 / 12 тоже равно 0,75. Общий множитель сокращается в числителе и знаменателе.

Повернуть лист можно как угодно. Противолежащая сторона определяется выбранной вершиной, а не словами «вертикальная» и «правая». Стоит перевернуть тетрадь, и заученное «верхний катет делим на нижний» перестаёт помогать. Метка угла переживает любой поворот.

У острого угла оба катета имеют положительную длину, поэтому тангенс положителен. Если противолежащий катет короче прилежащего, результат меньше 1. Если длиннее, результат больше 1. Это быстрый способ оценить ответ до вычисления.

Равенство катетов даёт отношение 1 и угол 45°. Для меньшего острого угла тангенс меньше единицы, для большего больше. Ограничения «тангенс не превышает 1» у этой функции нет: противолежащий катет может быть во много раз длиннее прилежащего.

Как получить значения для знакомых углов?#

Тангенсы 30°, 45° и 60° выводятся из равнобедренного прямоугольного треугольника и половины равностороннего. Эти фигуры позволяют получить точные числа с корнями. Десятичная запись понадобится для приближённых вычислений.

У прямоугольного равнобедренного треугольника острые углы равны 45°. Катеты одинаковы, поэтому tg 45° = a / a = 1. Длина a может быть любой положительной: она сокращается.

Теперь разделим равносторонний треугольник со стороной 2 высотой пополам. В каждой половине гипотенуза равна 2, короткий катет равен 1. Высота по теореме Пифагора равна √(2² − 1²) = √3. Острые углы получившейся половины равны 30° и 60°.

Против 30° лежит короткий катет. Поэтому tg 30° = 1 / √3 = √3 / 3. Против 60° лежит длинный катет, откуда tg 60° = √3 / 1 = √3. Именно такие геометрические построения используются в пункте 69 учебника Атанасяна.

Значения для 0° и 90° берутся уже из определения на окружности. Прямоугольный треугольник с нулевым катетом вырождается, поэтому подставлять ноль в обычный чертёж с тремя сторонами неудобно. Расширенное определение решает эту задачу.

Если заменить корень √3 его приближённым значением 1,732, из тех же отношений получится tg 30° ≈ 0,577, а для угла 60° ответ составит приблизительно 1,732. В точных преобразованиях сохраняйте корни: раннее округление делает результат грубее и скрывает полезные сокращения.

Четыре задачи на выбор сторон#

В задаче №591 учебника Атанасяна дан треугольник ABC с прямым углом C. Четыре набора исходных сторон проверяют один навык: найти оба катета и соотнести их с нужным углом. Гипотенуза может помочь вычислить недостающую длину.

Известны BC = 8 и AB = 17

Сторона AB находится против прямого угла и служит гипотенузой. По теореме Пифагора AC² = AB² − BC² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225. Следовательно, AC = 15.

Для угла A противолежащая сторона BC равна 8, прилежащая AC равна 15. Ответ: tg A = 8 / 15 ≈ 0,533. Для угла B стороны меняются ролями: tg B = 15 / 8 = 1,875.

Полученные числа различаются, хотя треугольник один. Первый острый угол меньше 45°, второй больше. Произведение тангенсов равно 1: (8 / 15) · (15 / 8) = 1.

Известны оба катета: BC = 21 и AC = 20

Для угла A сразу записываем tg A = 21 / 20 = 1,05. Для угла B получаем tg B = 20 / 21 ≈ 0,952. Вычислять гипотенузу ради тангенса здесь лишнее: обе нужные стороны уже даны.

Оба угла близки к 45°, потому что длины катетов близки. При этом их тангенсы лежат по разные стороны от 1. Такая оценка подтверждает правильный порядок числителя и знаменателя.

Известны BC = 1 и AC = 2

Тангенс угла A равен 1 / 2 = 0,5, тангенс угла B равен 2 / 1 = 2. Обратные значения возникают из одной и той же пары длин. Прямой угол C в эти формулы не подставляется.

Пара катетов 1 и 2 задаёт отношение, а не угол 30°. Угол A приблизительно равен 26,565°. Для точного угла 30° отношение должно равняться 1 / √3, а не 1 / 2. Половина здесь относится к тангенсу, не к градусной мере.

Известны AC = 24 и AB = 25

Недостающий катет BC = √(AB² − AC²) = √(25² − 24²) = √(625 − 576) = √49 = 7. Тогда tg A = 7 / 24 ≈ 0,292, а tg B = 24 / 7 ≈ 3,429.

Проверка по величине сторон снова помогает: напротив A лежит короткий катет, поэтому tg A меньше 1. В этом задании квадратный корень извлекается нацело. Если бы получился корень без целого значения, его можно было бы оставить в точном ответе.

1. Отметьте прямой и нужный острый углы
   Сначала найдите гипотенузу. Затем работайте относительно той вершины, чей тангенс требуется.
2. Получите два катета
   Если дана гипотенуза, найдите отсутствующий катет по теореме Пифагора. При двух известных катетах этот шаг пропускается.
3. Разделите и оцените ответ
   Противолежащую длину разделите на прилежащую. Сравните отношение с 1 по величине исходных катетов.

Что меняется на окружности?#

Окружность позволяет определить тангенс для отрицательных, тупых и больших углов. На единичной окружности радиус равен 1, а точке, полученной поворотом на угол α, соответствуют две координаты: x = cos α и y = sin α.

Согласно справочнику NIST DLMF, tan α = sin α / cos α. На окружности это отношение y / x. В первой четверти оно совпадает с отношением катетов, которое уже было получено в прямоугольном треугольнике.

Через правую крайнюю точку окружности проведём вертикальную касательную x = 1. Прямая через центр окружности и точку угла пересечёт эту касательную. Вертикальная координата пересечения равна тангенсу. Отсюда геометрический смысл латинского названия.

При тупом угле прямая пересекает касательную своим продолжением. Поэтому для общего построения используют всю прямую через центр, а не только луч от центра к точке окружности. Это позволяет получить и отрицательную высоту пересечения.

Знак отношения определяется знаками координат. В первой и третьей четвертях они одинаковы, поэтому тангенс положителен. Во второй и четвёртой четвертях знаки различаются, и тангенс отрицателен. Внутри каждой четверти знак постоянен.

Например, tg 135° = −1: синус равен √2 / 2, косинус равен −√2 / 2. Деление даёт −1. Для угла −45° получается то же значение. Отрицательные числа появляются при расширении определения, хотя длины сторон обычного треугольника остаются положительными.

При добавлении 180° обе координаты меняют знак, а отношение сохраняется. Поэтому tg(α + 180°) = tg α. Период функции равен 180°, или π радиан. Полный оборот тоже сохраняет значение, но он вдвое больше наименьшего положительного периода.

График с разрывами и повторяющимися ветвями#

На каждом промежутке между соседними исключёнными углами тангенс непрерывно возрастает. В пределах от −90° до 90° график проходит через начало координат. При приближении к краям значения по модулю становятся всё больше.

Вертикальные линии x = −90° и x = 90° служат асимптотами этой ветви: график подходит к ним всё ближе, сохраняя разрыв в исключённых точках. Следующая ветвь повторяет рисунок со сдвигом на 180°.

При 90° косинус равен нулю, и отношение sin α / cos α потребовало бы деления на ноль. Поэтому tg 90° не определён. То же происходит при 270°, −90° и после прибавления любого целого числа полуоборотов.

Слева от 90° тангенс стремится к положительной бесконечности. Справа от 90° он стремится к отрицательной бесконечности. Ни одно из этих направлений не задаёт значения функции в самой исключённой точке.

Для сравнения: tg 89° ≈ 57,29, а tg 91° ≈ −57,29. Это два конечных результата для двух разных допустимых углов. Подмена аргумента 89° на 90° полностью меняет математическую ситуацию.

Поэтому фраза «тангенс всегда возрастает» нуждается в указании промежутка. При переходе через разрыв сравнение 89° и 91° даст уменьшение числового значения. Монотонность относится к каждой отдельной ветви, внутри которой функция определена.

Как связаны тангенс и подъём на рисунке?#

Если острый угол отсчитывают от горизонтали, его тангенс равен высоте подъёма, делённой на горизонтальное расстояние. Наклонная длина в знаменатель не входит. Такой рисунок помогает увидеть смысл отношения в задаче про дорогу, скат или наклонную плоскость.

Условный пример: наклонная линия поднимается на 4 м за 8 м по горизонтали. Тангенс угла: 4 / 8 = 0,5. Угол α = arctg 0,5 ≈ 26,565°. Запись arctg означает обратную задачу: найти угол по известному тангенсу.

Уклон в процентах для такого определения равен 0,5 · 100 % = 50 %. Это процентное отношение высоты к горизонтальному продвижению. Угол в градусах получают другим действием — через арктангенс.

У лиса на рисунке целая тележка апельсинов, но для тангенса количество фруктов безразлично. Нужны две длины. Даже если один апельсин решил путешествовать в хвосте, геометрия подъёма сохраняется.

Если вместо горизонтали известна длина наклонного отрезка, получится гипотенуза. Отношение высоты к ней соответствует синусу угла. Выбор формулы определяется смыслом измеренных сторон.

Обратное преобразование тоже полезно. При известной горизонтали b и угле α высота h = b · tg α. При известной высоте h горизонталь b = h / tg α. Угол должен быть острым, а обе длины выражены в одной единице.

Почему на калькуляторе важны градусы и радианы?#

Кнопка tan работает с числом, которое программа интерпретирует в выбранной единице. В режиме градусов ввод 45 означает 45°. В режиме радиан тот же ввод означает угол 45 радиан. Аргументы разные, поэтому ответы различаются.

Радиан задаётся через дугу окружности: дуга длиной в один радиус соответствует углу 1 радиан. Полуоборот равен π радиан и 180°. Для перевода градусов в радианы угол умножают на π / 180.

Например, 45° = 45 · π / 180 = π / 4 радиана. В калькуляторе символ π не вводится: в режиме градусов наберите 45, а в режиме радиан десятичное приближение π / 4, например 0,7854. Тангенс получится равным 1 или очень близким к 1. Ввод 0,7854 в режиме градусов уже означает другой угол.

1. Определите единицу аргумента
   Значок ° в условии указывает на градусы. Запись с π часто задаёт радианную меру.
2. Выберите соответствующий режим
   Для проверки 30°, 45° и 60° выберите градусы. В радианах используйте соответствующие числовые значения.
3. Сопоставьте с точным ориентиром
   При 45° ожидается 1. Для 30° ответ положителен и меньше 1; для 60° больше 1.

Сначала проверьте знакомый угол: если при 45° вместо 1 вышло другое число, вернитесь к выбору режима и только после этого вводите нужное значение. Поиск ошибки в треугольнике на этом этапе только запутает.

Числовой результат калькулятора приближён. Рядом с особыми углами погрешность представления аргумента особенно заметна: небольшой сдвиг угла сильно меняет ответ. Для исключённых значений пользуйтесь точным условием cos α = 0.

Три ловушки в записи решения#

Ошибки с тангенсом часто появляются ещё до арифметики. Угол выбран неверно, знаменатель перепутан или за неизвестную сторону приняли не тот отрезок. Начинайте проверку с подписанного чертежа.

Для второго случая иногда полезна дополнительная проверка: произведение тангенсов двух острых углов прямоугольного треугольника равно 1. Проверка работает вместе с правильно отмеченными углами, поскольку две одинаково перевёрнутые дроби тоже дадут произведение 1 и тем самым скроют ошибку выбора сторон.

Проверьте себя на шести заданиях#

Попробуйте назвать нужное действие словами до вычисления. В задачах с буквами сначала выберите угол и стороны. Для вопросов о знаках мысленно поставьте точку в нужную четверть окружности.

Для дальнейшей практики выбирайте темы, на которых возникла ошибка: отношения сторон, перевод углов или окружность. В разделе «Математика для школьников» каталога курсов можно сопоставить эти темы с программами занятий.

Вывод#

Тангенс острого угла находят делением противолежащего катета на прилежащий: при одинаковых катетах получается 1 и угол 45°. Отмеченный угол определяет роли сторон, а режим градусов или радиан определяет смысл числового ввода. Проверьте значения 30°, 45° и 60° в калькуляторе, затем переходите к собственному углу.