📊

Калькулятор арифметической прогрессии

Вычисление n-го члена и суммы арифметической прогрессии с построением последовательности

Первый член (a₁)

Первый элемент прогрессии

Разность (d)

Шаг прогрессии (разность)

Номер члена (n)

Какой член найти (1-1000)

Примеры прогрессий:

Формулы арифметической прогрессии:

n-й член: aₙ = a₁ + (n-1) × d

Сумма n членов: Sₙ = n × (2a₁ + (n-1)d) ÷ 2

где a₁ - первый член, d - разность, n - номер члена

Загрузка инструмента...

Калькулятор арифметической прогрессии — формулы и расчёты

Онлайн калькулятор для вычисления членов, суммы и параметров арифметической прогрессии. Находит n-й член, сумму первых n членов, разность и количество членов. Пошаговое решение с формулами для проверки.

N-й член: aₙ = a₁ + (n−1) × d
Сумма n членов: Sₙ = n × (a₁ + aₙ) / 2
Разность прогрессии: d = (aₙ − a₁) / (n−1)
Количество членов: n = (aₙ − a₁) / d + 1
Обратные задачи: найти a₁, d или n по известным
Пошаговое решение с формулами

Что такое арифметическая прогрессия

Последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную величину d (разность). Пример: 2, 5, 8, 11, 14... (a₁=2, d=3). Если d > 0 — возрастающая, d < 0 — убывающая, d = 0 — постоянная.

Сумма n членов: Sₙ = n(2a₁ + (n−1)d) / 2 или Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2. Знаменитая задача Гаусса: 1+2+3+...+100 = 100 × (1+100) / 2 = 5 050.

Где встречается в жизни

Зарплата с ежегодной надбавкой (50 000, 53 000, 56 000... — d=3 000). Амортизация (линейная: стоимость уменьшается равномерно). Распределение мест в амфитеатре (каждый ряд длиннее предыдущего на 2 кресла). Расчёт кредитных платежей (дифференцированный платёж — арифметическая прогрессия).

💡

Пример из жизни

Студент решает задачу: «Зарплата в первый год — 50 000 ₽/мес, каждый год увеличивается на 4 000 ₽. Какая зарплата на 8-й год? Сколько заработает за 8 лет?»

a₁ = 50 000, d = 4 000, n = 8

a₈ = 50 000 + 7 × 4 000 = 78 000 ₽/мес

S₈ = 8 × (50 000 + 78 000) / 2 = 512 000 ₽/мес × 12 мес = 6 144 000 ₽ за 8 лет

✅

На 8-й год: 78 000 ₽/мес. За 8 лет суммарно: 6 144 000 ₽. Без повышений (50 000 × 8 × 12) = 4 800 000 ₽. Надбавка d=4 000 даёт +1 344 000 ₽ за 8 лет.

🧠

Знаете ли вы?

🧒

9-летний Гаусс сложил 1+2+...+100 = 5 050 за секунды: 101 × 50 = 5 050. Учитель был шокирован — ожидал, что задача займёт час

📊

Формула Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 приписывается Гауссу, но была известна ещё вавилонянам 2 000 лет до н.э.

🎵

Клавиши рояля: частоты нот — НЕ арифметическая прогрессия (геометрическая: ×1,059 на полутон). Но порядковые номера клавиш — арифметическая

📐

Сумма углов n-угольника = 180(n−2) — тоже арифметическая прогрессия: 180, 360, 540, 720... (d=180)

💰

Дифференцированный кредитный платёж — убывающая арифметическая прогрессия: тело равными частями, проценты уменьшаются

🏟️

В амфитеатре: 1 ряд — 20 мест, каждый следующий +2. 25-й ряд: 20 + 24×2 = 68 мест. Всего: 25×(20+68)/2 = 1 100 мест

Основные формулы арифметической прогрессии

Формула	Что находит	Пример (a₁=3, d=5)
aₙ = a₁ + (n−1)d	N-й член	a₁₀ = 3 + 9×5 = 48
Sₙ = n(a₁+aₙ)/2	Сумма n членов	S₁₀ = 10×(3+48)/2 = 255
d = (aₙ−a₁)/(n−1)	Разность	d = (48−3)/9 = 5
n = (aₙ−a₁)/d + 1	Кол-во членов	n = (48−3)/5 + 1 = 10
aₙ = (aₙ₋₁+aₙ₊₁)/2	Среднее соседних	a₅ = (a₄+a₆)/2

💡

Важно знать

Быстрая проверка: средний член = (первый + последний) / 2. Сумма = средний × количество. Для 1+2+...+100: средний = (1+100)/2 = 50,5. Сумма = 50,5 × 100 = 5 050. Работает для любой арифметической прогрессии.

Как использовать Калькулятор арифметической прогрессии

Шаг 1

Введите известные параметры: первый член (a₁), разность (d), номер члена (n)

Шаг 2

Выберите, что найти: n-й член, сумму, разность или количество членов

Шаг 3

Калькулятор покажет результат с пошаговой формулой

Шаг 4

Используйте обратные задачи: найти a₁ или d по двум членам прогрессии

Примеры использования

a₁=2, d=3, найти a₁₀

a₁₀ = 2 + 9×3 = 29. Прогрессия: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29

Сумма 1+2+3+...+100

a₁=1, aₙ=100, n=100. S = 100×(1+100)/2 = 5 050 (задача Гаусса)

Найти d: a₁=10, a₂₀=67

d = (67−10)/(20−1) = 57/19 = 3. Прогрессия: 10, 13, 16...

Сколько членов от 5 до 95 с шагом 5?

n = (95−5)/5 + 1 = 19 членов. Сумма: 19×(5+95)/2 = 950

Зарплата: 60 000 + 3 000/год, за 5 лет

a₅ = 60 000 + 4×3 000 = 72 000. S₅ = 5×(60+72)/2 × 12 = 3 960 000 ₽

Часто задаваемые вопросы

Чем арифметическая отличается от геометрической?

Арифметическая: +d на каждый шаг (3, 6, 9, 12...). Геометрическая: ×q на каждый шаг (3, 6, 12, 24...). Зарплата +3 000/год — арифметическая. Вклад ×1,1/год — геометрическая.

Может ли разность быть дробной или отрицательной?

Да. Дробная: 1, 1.5, 2, 2.5... (d=0,5). Отрицательная: 100, 95, 90, 85... (d=−5) — убывающая прогрессия. Нулевая: 7, 7, 7, 7... (d=0) — постоянная последовательность.

Как найти a₁ по двум произвольным членам?

a₁ = aₖ − (k−1) × d. Сначала: d = (aₙ − aₖ) / (n−k). Пример: a₃=11, a₇=23 → d = (23−11)/(7−3) = 3. a₁ = 11 − 2×3 = 5.

Как проверить, является ли последовательность арифметической?

Проверьте: разность между соседними членами постоянна. 3, 7, 11, 15 → 4, 4, 4 — да. 2, 4, 8, 16 → 2, 4, 8 — нет (геометрическая).

Где на ОГЭ/ЕГЭ встречается арифметическая прогрессия?

ОГЭ: задание №11 (прямое применение формул). ЕГЭ: задание №4 (базовый) и №18 (профильный, нестандартные задачи). Формулы aₙ и Sₙ — обязательны к запоминанию.

Как быстро посчитать сумму в уме?

Средний член = (первый + последний) / 2. Сумма = средний × количество. Пример: 3+5+7+9+11 → средний = (3+11)/2 = 7. Членов = 5. Сумма = 35.

Полезная информация

🔒 Конфиденциальность. Расчёт выполняется в браузере — данные не отправляются на сервер.

📚 Для учёбы. Пошаговое решение показывает формулу и подстановку — идеально для подготовки к ОГЭ/ЕГЭ и проверки домашних заданий.

Комментарии (1)

Был ли полезен этот инструмент?

Руслан Авдеев (автор проекта)• 1 янв. 2024 г., 00:00

🎉 Спасибо, что используете наши инструменты! Все инструменты на ToolFox полностью бесплатны и постоянно улучшаются. 📝 Пожалуйста, оставляйте комментарии: - Если инструмент работает некорректно - Если есть идеи по улучшению - Поделитесь своим опытом использования 👍 Ставьте лайки/дизлайки - это помогает мне понять, какие инструменты нуждаются в доработке. Я обновляю сайт каждую неделю на основе вашей обратной связи. ⭐ Если вам нравится ToolFox — буду благодарен за отзыв о сайте в Яндекс.Браузере (нажмите на ⋮ → «Оценить сайт» в панели браузера). Это помогает другим людям находить наши инструменты! 😊 Также вы можете написать мне напрямую в Telegram: @avdeevrus Все доработки и улучшения по вашим пожеланиям делаю бесплатно! Благодарю за доверие и использование ToolFox! 🚀