Целые числа — это натуральные числа, ноль и отрицательные числа, противоположные натуральным: ... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 ... Они нужны, когда счёт продолжается по обе стороны от нуля: температура падает ниже нуля, а координата уходит влево. В статье разберём, какие записи обозначают целые числа, как сравнивать отрицательные значения и выполнять действия со знаками. После разбора сможете отличить минус числа от вычитания и решить задачи на числовую прямую.
Какие числа входят в множество ℤ?
Положительные целые получаются при счёте предметов: один, два, три и дальше. Для каждого такого числа есть противоположное отрицательное. Между этими двумя бесконечными рядами стоит ноль. Согласно учебнику М. И. Башмакова «Математика», именно добавление нуля и отрицательных чисел расширяет натуральные числа до целых.
Множество в математике означает набор объектов, объединённых некоторым условием. Символ ℤ обозначает множество всех целых чисел. Запись −6 ∈ ℤ читают так: «минус шесть принадлежит множеству целых чисел». Знак ∈ сообщает о принадлежности; перечёркнутый знак ∉ сообщает об обратном.
| Часть множества | Условие | Примеры |
|---|---|---|
| Отрицательные целые | Меньше нуля | −12; −3; −1 |
| Ноль | Равен нулю | 0 |
| Положительные целые | Больше нуля | 1; 8; 125 |
Согласно справочнику Wolfram MathWorld, целое число может быть отрицательным, положительным или нулём. Поэтому словосочетание «целое число» ещё ничего не говорит о его знаке. Чтобы выбрать только одну часть множества, добавляют уточнение: положительное, отрицательное, неотрицательное.
У любого целого числа есть предыдущее и следующее: они отличаются от него на единицу. У числа −3 соседями будут −4 и −2. Наибольшего целого нет: прибавление единицы всегда даёт большее. Наименьшего тоже нет: вычитание единицы даёт ещё меньшее.
Слово «целое» здесь связано с отсутствием дробной части. Похожий смысл у английского integer: по словарю Etymonline, оно происходит от латинского integer, то есть «целый, нетронутый». Это происхождение английского термина; русское словосочетание не нужно объявлять заимствованием из английского.
В обычной речи «целый» бывает равнозначно «весь»: целый день, целый пирог. Математическое значение точнее. Число −9 столь же целое, как 9, хотя отрицательное количество пирогов на тарелке представить трудно. Зато изменение запаса на −9 пирогов читается понятно: запас уменьшился.
Ноль и границы соседних множеств
Ноль входит в ℤ на общих основаниях. С его помощью записывают отсутствие предметов, исходный уровень или отсутствие изменения. Выбор смысла зависит от задачи: пустая коробка и нулевая отметка высоты описывают разные вещи одним числом.
В этой статье натуральный ряд начинается с единицы: 1, 2, 3 ... Такую договорённость использует и учебник Башмакова. В некоторых книгах к натуральным добавляют ноль. При чтении другого учебника достаточно проверить его определение; состав целых чисел от этой договорённости сохраняется.
| Множество | Что включает | Пример, отличающий его от предыдущего |
|---|---|---|
| Натуральные ℕ | Числа для счёта, начиная с 1 | 1 |
| Целые ℤ | Натуральные, ноль, противоположные натуральным | −1 и 0 |
| Рациональные ℚ | Числа вида a/b, где a и b целые, b ≠ 0 | 1/2 |
Каждое целое рационально: например, −5 = −5/1. Обратный переход возможен только для части рациональных чисел. Так, 7/2 = 3,5, и это значение между соседними целыми 3 и 4.
Здесь пригодится различие между числом и записью числа. Запятая или дробная черта рассказывают о способе записи. Принадлежность к множеству определяют по полученному значению. Разберём несколько записей:
- 6,000 = 6. Нули после запятой не добавляют долей, поэтому значение целое.
- −18/3 = −6. После деления получаем отрицательное целое.
- √49 = 7. Квадратный корень здесь обозначает положительное целое число.
- √8. Это число между 2 и 3, поскольку 2² = 4, а 3² = 9; целым оно не будет.
- 5/0. Деление на ноль не определено, поэтому выражению нельзя приписать числовое значение.
Слова «неотрицательное» и «неположительное» полезно читать буквально. Первое исключает отрицательные и оставляет 0, 1, 2 ... Второе исключает положительные и оставляет ... −2, −1, 0. Ноль входит в обе эти группы.
- Положительное целое: 1, 2, 3 ...
- Неотрицательное целое: 0, 1, 2, 3 ...
- Ненулевое целое: любое целое, кроме 0; например, −2 или 2.
По этим словам меняется ответ задачи. Условие «назовите наименьшее неотрицательное целое» даёт 0. Условие «назовите наименьшее положительное целое» даёт 1. Одно короткое «не» расширяет разрешённый набор ровно на ноль.
Как сравнить числа слева от нуля?
Из двух чисел больше то, которое расположено правее на числовой прямой. Поэтому −2 больше −8. Среди отрицательных целых ближе к нулю находится большее число. Среди положительных привычный порядок сохраняется: 8 больше 2.
Представьте, что вы выбираете, в какой день гулять: при −3 °C или при −11 °C. Вторая запись выглядит внушительнее, но варежки от этого теплее не становятся. Температура −3 °C выше: на термометре эта отметка расположена над отметкой −11 °C.
Сравнение можно провести без рисунка. Сначала посмотрите на знаки, затем сравните нужную часть записей. Порядок действий такой:
- Разберите знакиЛюбое положительное больше нуля, любое отрицательное меньше нуля. Поэтому 4 > −900.
- Сравните одинаковые знакиДва положительных сравнивают привычно. У двух отрицательных больше то, у которого меньше модуль: −6 > −19.
- Проверьте направление знакаОстрие знака < или > смотрит на меньшее число. Равные значения соединяют знаком =.
Модуль числа показывает расстояние от его точки до нуля. Подробный рисунок будет в следующем разделе. Пока достаточно знать: у −6 модуль 6, у −19 модуль 19. Это помогает сравнивать отрицательные числа без списка всех промежуточных отметок.
Например, нужно упорядочить −9, 4, 0, −2 и 7 по возрастанию. Сначала идут отрицательные: −9, затем −2. За ними ноль, потом положительные: 4 и 7. Ответ: −9 < −2 < 0 < 4 < 7.
Инструмент в начале статьи позволяет проверить пару −9 и −2: он покажет знак сравнения и разность значений. Вводите каждое число вместе со знаком. Для проверки порядка достаточно результата «больше» или «меньше»; отношения «во сколько раз» для отрицательных температур здесь не нужны.
Модуль и противоположное число
У чисел 4 и −4 одинаковое расстояние до нуля, но разные положения на прямой. Такие числа называют противоположными. Сумма противоположных равна нулю: 4 + (−4) = 0. У нуля противоположное число совпадает с ним: −0 = 0.
Модуль обозначают вертикальными чертами: |−4| = 4. Черты показывают расстояние, поэтому результат неотрицательный. Из определения сразу следуют |4| = 4 и |0| = 0.
У выражений «найти противоположное» и «найти модуль» разные результаты. Для −12 противоположное равно 12, модуль тоже 12. Такое совпадение легко обманывает. Стоит взять положительное 12, и разница видна: противоположное −12, а модуль 12.
Буква a в формулах обозначает некоторое число. Запись −a читают «число, противоположное a». Если a = −5, получаем −a = −(−5) = 5. Поэтому стоящий перед буквой минус ещё не сообщает, что всё выражение отрицательно.
Для расстояния между двумя точками используют модуль разности: |a − b|. Например, между −4 и 3 расстояние равно |3 − (−4)| = |7| = 7. В обратном порядке получится |−4 − 3| = |−7| = 7. Расстояние одинаковое в обоих направлениях.
Здесь различаются два ответа. Изменение координаты при переходе из 3 в −4 равно −7: направление отрицательное. Расстояние между точками равно 7: оно отвечает только на вопрос о длине пути по прямой. Эта разница пригодится в задачах о температуре и высоте.
Что происходит при сложении и вычитании?
При сложении с положительным числом точка движется вправо, с отрицательным — влево. Начальная точка задаётся первым слагаемым. Второе слагаемое задаёт направление и количество единичных шагов. Такой способ разбирается в учебнике OpenStax Prealgebra 2e в разделе о сложении целых.
Возьмём −2 + 5. Начинаем в точке −2, идём вправо на пять единиц и приходим в 3. По дороге пересекаем ноль. Для небольших чисел прямая позволяет увидеть результат раньше, чем вспомнить словесное правило.
Для больших чисел считать шаги неудобно. Вместо рисунка используйте правила, которые дают тот же результат:
- При одинаковых знаках складывают модули и сохраняют общий знак: −13 + (−8) = −(13 + 8) = −21.
- При разных знаках из большего модуля вычитают меньший. Затем ставят знак слагаемого с большим модулем: −17 + 9 = −(17 − 9) = −8.
- Если слагаемые противоположны, результат равен нулю: −23 + 23 = 0.
Вычитание сводится к сложению с противоположным числом: a − b = a + (−b). Здесь минус перед b меняет знак вычитаемого. Например, 6 − (−4) = 6 + 4 = 10, а 6 − 4 = 6 + (−4) = 2.
Разберём чуть более длинную цепочку: −8 − (−3) + 2. Сначала заменяем вычитание отрицательного: −8 + 3 + 2. Затем складываем: −8 + 3 = −5; −5 + 2 = −3. Проверка обратным движением даёт тот же итог: с −8 поднялись на 5 единиц.
Рядом стоящие минусы бывают разными по роли. В записи −8 − 3 первый относится к числу, второй обозначает действие. В записи −(−8) внешний минус требует взять противоположное всему числу в скобках. Читать выражение вслух полезнее, чем считать значки глазами.
Сложение позволяет менять порядок слагаемых: −8 + 3 = 3 + (−8). Для вычитания порядок существенен: −8 − 3 = −11, тогда как 3 − (−8) = 11. Скобки в таких записях помогают сохранить знак каждого числа.
Умножение, деление и правило знаков
Знак произведения зависит от знаков множителей. Одинаковые знаки дают плюс, разные дают минус. Для частного действует та же таблица, если делитель отличен от нуля. Эти правила приведены в разделе Multiply and Divide Integers учебника OpenStax.
| Знаки чисел | Произведение | Частное |
|---|---|---|
| Плюс и плюс | 6 · 2 = 12 | 12 : 2 = 6 |
| Минус и минус | (−6) · (−2) = 12 | (−12) : (−2) = 6 |
| Минус и плюс | (−6) · 2 = −12 | (−12) : 2 = −6 |
| Плюс и минус | 6 · (−2) = −12 | 12 : (−2) = −6 |
Почему два отрицательных множителя дают положительное произведение? Можно проверить через распределительное свойство, то есть раскрытие скобок. Сумма 2 + (−2) равна нулю, поэтому (−6) · (2 + (−2)) = 0. После раскрытия получаем −12 + (−6) · (−2) = 0. Значит, второе произведение должно быть равно 12.
Эта цепочка объясняет правило, а не просто предлагает его запомнить. Если принять другое значение, привычное раскрытие скобок перестанет работать. Для ежедневных вычислений доказательство повторять не нужно: достаточно таблицы знаков.
Три действия сохраняют целочисленность результата при любых целых исходных числах: сложение, вычитание, умножение. Это свойство называют замкнутостью. Например, из −9 и 4 получаются −5 при сложении, −13 при вычитании и −36 при умножении.
У деления другая граница. Результат 14 : 7 = 2 целый, а 14 : 4 = 3,5 дробный. Чтобы частное двух целых было целым, делимое должно делиться на делитель нацело. При этом знак частного определяют независимо от наличия остатка.
Ноль при умножении даёт ноль. Деление нуля на ненулевое число тоже даёт ноль: 0 : (−7) = 0. Но деление на ноль запрещено. Для 7 : 0 нет числа, которое после умножения на 0 дало бы 7. В случае 0 : 0 подойдёт любое число, поэтому единственное частное выбрать невозможно.
Возведение в степень тоже связано со знаком. Натуральная степень означает произведение одинаковых множителей. Поэтому (−3)² = (−3) · (−3) = 9, а (−3)³ = 9 · (−3) = −27. Чётное количество отрицательных множителей даёт положительный результат, нечётное — отрицательный.
Скобки меняют основание степени: (−3)² равно 9, тогда как −3² означает −(3²) и равно −9. Степень вычисляют раньше внешнего минуса. При переносе решения в тетрадь скобки стоят одной секунды, а поиск потерянного знака занимает гораздо дольше.
💡 История понятия
В VII веке индийский математик Брахмагупта записал правила действий с нулём и отрицательными числами. Сложение и вычитание он описывал уже узнаваемым способом, а объяснение деления на ноль ещё содержало ошибки. Привычная сегодня арифметика складывалась постепенно.
Источник: историко-математический архив MacTutor Сент-Эндрюсского университета, статья A history of Zero.
Как решать задачи с целыми числами?
Начните с перевода условия на язык чисел. Определите, что измеряют, откуда отсчитывают и какой ответ нужен. В одной задаче ищут конечную отметку, в другой — изменение, в третьей — количество подходящих целых. Действия выбирают после этого.
- Выберите величинуЗапишите, что обозначает число: положение, количество предметов или изменение величины.
- Составьте выражениеУкажите знак каждого значения. Отрицательное число после знака действия заключите в скобки.
- Проверьте смыслСверьте ответ с направлением движения, размером изменения или перечнем допустимых значений.
Температура и её изменение
Условный пример: утром было −6 °C, днём стало 2 °C, вечером температура опустилась на 5 градусов. Найдём дневное повышение и вечернее показание.
Дневное изменение равно новому значению минус старое: 2 − (−6) = 2 + 6 = 8 градусов. К вечеру получаем 2 − 5 = −3 °C. Утреннее и вечернее показания оба отрицательные, но вечернее выше на 3 градуса.
Температуру и изменение температуры записывают в разных ролях. Фраза «стало −3 °C» называет показание. Фраза «упало на 3 градуса» называет величину снижения. Подмена этих ответов даёт внешне похожие числа с разным смыслом.
Координата ниже входа
Условный пример: уровень входа в здание обозначен 0, площадка хранения велосипедов находится на уровне −2, а кабинет на уровне 3. Переход от площадки до кабинета меняет номер уровня на 3 − (−2) = 5. Обратный переход даёт −2 − 3 = −5.
Вы заходите в лифт и видите кнопку с минусом. Лифт не обещает отрицательное количество этажей: он предлагает спуститься ниже принятой точки отсчёта. В здании с другой нумерацией тот же знак мог бы отсутствовать, поэтому в задаче отсчёт задан прямо.
Разность номеров уровней здесь посчитана в единичных переходах. Для перевода в метры понадобятся высоты между площадками.
Книги, которые делят на пачки
В сборнике задач о целых числах на сайте МЦНМО разобран пример с 20 книгами и пачками по 6. Получаются 3 полные пачки и 2 оставшиеся книги: 20 = 3 · 6 + 2. Это деление с остатком: отдельно называют количество полных групп и то, что осталось.
Обычное частное при этом равно 20/6 = 10/3 = 3⅓. Ответ «3 пачки и 2 книги» относится к предметной задаче, а дробь — к точному делению чисел. Считать остаток десятичной цифрой нельзя: запись 3,2 описывала бы другое значение.
Сходный пример из того же сборника касается невисокосного года. В 365 днях содержатся 52 полные недели и ещё 1 день: 52 · 7 = 364, затем 365 − 364 = 1. Так целое неполное частное помогает посчитать полные группы даже при дробном точном результате.
Целые между двумя границами
Нужно выписать целые x, для которых −3 < x ≤ 2. Левая граница строгая: число −3 исключаем. Правая допускает равенство: 2 включаем. Получаем −2, −1, 0, 1, 2. Всего 5 чисел.
Если обе целые границы включены, количество считают как разность концов плюс единица. От −2 до 2 включительно: 2 − (−2) + 1 = 2 + 2 + 1 = 5. Разность 4 считает промежутки между отметками; добавленная единица учитывает последнюю точку.
При дробных границах сначала найдите крайние допустимые целые. Например, условие −2,7 < x < 3,1 оставляет −2, −1, 0, 1, 2, 3. Уже после этого можно считать количество по целым концам: 3 − (−2) + 1 = 6. Такой порядок защищает от округления не в ту сторону.
Частые ошибки со знаками
Ошибки здесь удобно разделять по причине: неверно выбран набор чисел, потерян знак или перепутано действие. В каждом случае исправление своё. Исправлять все промахи одним лозунгом «два минуса дают плюс» опасно: он относится лишь к некоторым ситуациям.
Ошибка 1: исключить дробную запись целого числа
Почему так нельзя: запись −24/8 имеет значение −3, которое входит в ℤ.
Как не ошибиться: сначала выполните деление, затем определите вид полученного числа.
Ошибка 2: сложить два минуса как два плюса
Почему так нельзя: −4 + (−7) = −11. Оба слагаемых уводят точку влево.
Как не ошибиться: назовите действие до применения правила. При сложении одинаковых знаков знак сохраняется.
Ошибка 3: принять больший модуль за большее число
Почему так нельзя: у −15 модуль больше, чем у −3, но −15 < −3.
Как не ошибиться: разделяйте сравнение расстояний до нуля и сравнение положения точек.
Ошибка 4: применить правило знаков к сумме
Почему так нельзя: разные знаки слагаемых дают и положительные, и отрицательные ответы. Например, 9 + (−2) = 7, а 2 + (−9) = −7.
Как не ошибиться: таблицу «одинаковые знаки дают плюс» оставьте для умножения и деления. В сумме сравните модули.
Ещё один промах связан с условием задачи. Если просят натуральные решения, отрицательные целые и ноль в принятой здесь договорённости исключают. Если просят целые, поиск только среди положительных обрежет ответ. Например, уравнение x² = 16 имеет два целых решения: −4 и 4.
Сможете решить без подсказки?
Попробуйте сначала записать ответы на бумаге. Потом раскройте каждое пояснение и найдите причину расхождения. Если ответ верен, но правило объяснить трудно, решите соседний пример с другими знаками. Это быстрее выявляет случайное угадывание.
1. Выберите целые: −7; 2,4; 0; 15/5; √36; 1/3.
Ответ: −7; 0; 15/5 = 3; √36 = 6. Значения 2,4 и 1/3 находятся между соседними целыми.
2. Расставьте по возрастанию −12, −5, 2, −1, 0.
Ответ: −12 < −5 < −1 < 0 < 2. Отрицательные расположены перед нулём, положительное — после него.
3. Чему равны |−9| и число, противоположное 9?
Ответ: модуль равен 9, противоположное число равно −9. Первая операция даёт расстояние до нуля, вторая меняет сторону относительно нуля.
4. Вычислите −14 + 6 − (−3).
Ответ: −14 + 6 + 3 = −8 + 3 = −5. Вычитание −3 превратилось в прибавление 3.
5. Найдите (−5) · (−4) и (−18) : 6.
Ответ: 20 и −3. У произведения одинаковые знаки множителей, у частного разные знаки делимого и делителя.
6. Сколько целых удовлетворяет условию −4 ≤ x < 1?
Ответ: 5 чисел: −4, −3, −2, −1, 0. Единицу исключает строгая правая граница.
7. Верно ли, что −2² и (−2)² равны?
Ответ: нет. −2² = −(2 · 2) = −4, а (−2)² = (−2) · (−2) = 4.
- Задания 1 и 6: состав множества и границы условия.
- Задания 2 и 3: порядок точек и расстояние до нуля.
- Задания 4, 5 и 7: вид действия, скобки и порядок вычислений.
Для более сложной тренировки можно взять тему чётности. По сборнику МЦНМО, чётные целые записываются в виде 2m, а нечётные — в виде 2m + 1, где m целое. Например, −8 = 2 · (−4), а −7 = 2 · (−4) + 1. Ноль чётный, поскольку 0 = 2 · 0.
В том же сборнике рядом разбираются числа 123 и 124: первое нечётное, второе чётное. Для самостоятельного продолжения проверьте, какой получится сумма двух нечётных целых. Подстановка 2m + 1 и 2n + 1 даст 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1), то есть чётное число.
Если со знаками хочется позаниматься с преподавателем, подходящее направление есть в разделе «Математика для школьников». После самопроверки уже видно, какую трудность стоит разобрать: порядок чисел, скобки или переход от условия к выражению.
Вывод
Целые числа продолжают привычный счёт через 0 в отрицательную сторону. Для уверенного решения нужно различать положение точки, расстояние до нуля и действие со знаком минус. Возьмите пару −12 и −5, определите большее и проверьте себя инструментом.