Факториал числа n — это произведение всех целых чисел от 1 до n включительно, если n положительное. Его обозначают n! и читают «эн факториал». Например, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Для нуля отдельно принимают 0! = 1. Эта запись помогает вычислять число перестановок, выбирать группы и сокращать длинные произведения. Разберём, почему появляется единица, как обращаться с дробями из факториалов и когда в задаче действительно нужен такой расчёт.
Что означает восклицательный знак после числа?
В обычном тексте знак ! передаёт эмоцию, а в записи 6! обозначает математическую операцию. Нужно перемножить 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Число перед знаком задаёт последний множитель цепочки.
Согласно учебному пособию «Теория вероятностей и статистика» Тюрина, Макарова, Высоцкого и Ященко, такое произведение называют факториалом. В школьной записи используют неотрицательные целые аргументы: 0, 1, 2, 3 и дальше. Нулевое значение задают отдельно.
Для положительного целого n определение можно записать так: n! = 1 × 2 × ... × n. Направление перечисления не меняет произведение, поэтому 5 × 4 × 3 × 2 × 1 тоже равно 5!. Важно сохранить все множители.
Факториал, сумма и степень
Сравним три выражения с числом 4. Сумма 1 + 2 + 3 + 4 равна 10. Факториал 4! равен 24. Степень 4⁴ равна 256, поскольку в ней четыре раза перемножается одна и та же четвёрка.
- 1 + 2 + 3 + 4: складываем разные слагаемые.
- 4!: перемножаем последовательные положительные целые до четвёрки.
- 4⁴: перемножаем четыре одинаковых множителя 4.
Название связано с умножением. Согласно словарю иностранных слов на Грамоте, английское factorial восходит к factor — «множитель».
Скобки определяют, к какому выражению относится операция. В записи (3 + 2)! сначала считают сумму и получают 5!, то есть 120. В записи 3! + 2! вычисляют два факториала, затем складывают 6 и 2, получая 8.
Унарная операция относится к одному аргументу. В выражении n! таким аргументом является n, а в выражении (n + 1)! — число n + 1. Пропущенные скобки меняют задачу, поэтому при переписывании формулы за ними следят особенно внимательно.
Почему факториал нуля равен единице?
Равенство 0! = 1 принимают по определению. Оно согласует начальное значение с остальными свойствами операции и имеет понятный смысл в задачах на перестановки. Это не результат умножения на ноль: в произведение положительных чисел ноль вообще не входит.
Посмотрим на правило перехода к следующему значению: n! = n × (n − 1)! при целом n ≥ 1. Если взять n = 1, получится 1! = 1 × 0!. Слева стоит единица, поэтому значение 0! = 1 сохраняет правило и в этой точке.
Другой взгляд предлагает справочник Wolfram MathWorld: пустой набор имеет ровно один порядок расположения. Никаких предметов добавлять или менять местами не нужно. Получается один пустой результат.
Пустое произведение
Умножение удобно начинать с единицы: 1 × 2 × 3 даёт 6. Если множителей пока нет, остаётся начальное значение 1. Такое произведение называют пустым; оно помогает единообразно записывать формулы с разным числом множителей.
У суммы начальное значение другое. Когда слагаемых нет, сумма равна нулю, потому что прибавление нуля сохраняет результат. Для произведения ту же роль играет единица: умножение на неё ничего не меняет.
Представьте алгоритм, который последовательно умножает числа от 1 до n. При n = 0 ни одного шага умножения не выполняется. Если начальное значение равно 1, программа сразу возвращает нужный ответ.
| Аргумент | Что происходит | Результат |
|---|---|---|
| 0 | Множителей нет, используется начальное значение | 1 |
| 1 | Единственный множитель — единица | 1 |
| 2 | Умножаем 1 на 2 | 2 |
| 3 | Добавляем к произведению множитель 3 | 6 |
Из таблицы видно, почему разные аргументы могут дать одинаковый факториал: 0! и 1! совпадают. Начиная с перехода от 1! к 2!, значения строго увеличиваются. Поэтому уравнение n! = 1 имеет два неотрицательных целых решения: n = 0 и n = 1.
Вычисление по цепочке и таблице
Чтобы найти следующий факториал, предыдущий результат умножают на новое число. Из 4! = 24 получается 5! = 24 × 5 = 120, затем 6! = 120 × 6 = 720. Каждый шаг использует уже найденное произведение.
Для небольших аргументов полезна таблица. Её можно восстановить без запоминания всех ответов: начинайте с единицы и последовательно домножайте на 2, 3, 4 и дальше. Столбец n и столбец n! при этом обозначают разные числа.
| n | n! | Переход от предыдущего |
|---|---|---|
| 0 | 1 | Начальное значение |
| 1 | 1 | 1 × 1 |
| 2 | 2 | 1 × 2 |
| 3 | 6 | 2 × 3 |
| 4 | 24 | 6 × 4 |
| 5 | 120 | 24 × 5 |
| 6 | 720 | 120 × 6 |
| 7 | 5 040 | 720 × 7 |
| 8 | 40 320 | 5 040 × 8 |
| 9 | 362 880 | 40 320 × 9 |
| 10 | 3 628 800 | 362 880 × 10 |
Разбор: найти факториал семи
Начнём с известного 5! = 120. Домножаем на 6 и получаем 720. Следующий шаг: 720 × 7 = 5 040. Значит, 7! = 5 040.
Введите 7 в калькулятор: он покажет произведение и результат. Такая проверка полезна после собственного решения, особенно если в длинной цепочке легко пропустить множитель. Для следующего значения достаточно умножить найденное число на 8.
Обратный переход тоже работает. Если известно 8! = 40 320, то 7! = 40 320 / 8 = 5 040. Деление возвращает к предыдущему аргументу, поскольку убирает ровно один последний множитель.
Разбор: найти аргумент при n! = 720
По таблице 5! = 120, а 6! = 720. Следовательно, n = 6 подходит. Для n ≥ 1 последовательность после первого значения возрастает, поэтому большего целого решения не будет.
Сравнение с соседними значениями помогает обнаружить ошибку. Например, ответ n = 7 означал бы 5 040 вместо 720. Достаточно одного дополнительного умножения, чтобы увидеть несоответствие условию.
Как сокращать дроби с факториалами?
В дробях общий множитель лучше сократить до полного вычисления числителя и знаменателя. Для этого больший факториал раскрывают до меньшего. Так одинаковая часть становится видимой, а длинные числа исчезают из промежуточных шагов.
Разбор: вычислить 9!/6!
В числителе выделим первые три множителя: 9! = 9 × 8 × 7 × 6!. Тогда дробь равна (9 × 8 × 7 × 6!)/6!. После деления на общий ненулевой множитель 6! остаётся 9 × 8 × 7 = 504.
Результат определяется только множителями, которые отсутствуют в знаменателе. Однако запись 9!/6! нельзя превратить в (9 − 6)!: это дало бы 3! = 6.
Разбор: упростить (n + 1)!/n!
Раскрываем числитель: (n + 1)! = (n + 1) × n!. Деление на n! оставляет n + 1. Формула верна для любого неотрицательного целого n; знаменатель во всех случаях положителен.
Если взять n = 4, получим 5!/4! = 5. Если взять n = 0, результатом будет 1!/0! = 1. Оба вычисления согласуются с общим выражением n + 1.
У похожей дроби n!/(n − 2)! остаются два множителя: n × (n − 1). Здесь уже требуется целое n ≥ 2. Например, для n = 6 получится 6 × 5 = 30.
Сложение в числителе
В выражении (7! + 6!)/6! сначала можно вынести общий множитель: 7! + 6! = 7 × 6! + 6! = 8 × 6!. Ответ равен 8. Можно также разделить каждое слагаемое числителя на знаменатель.
Сокращают множители, а отдельное слагаемое внутри суммы просто вычеркнуть нельзя. Это обычное правило работы с дробями, которое продолжает действовать и при записи факториалов. Восклицательный знак не меняет свойства сложения и умножения.
Как факториал считает перестановки?
Перестановка — один определённый порядок всех выбранных различных предметов. Для трёх карточек с буквами А, Б и В существуют шесть порядков: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. В каждом используются все три буквы по одному разу.
Почему их именно шесть? На первое место подходит любая из трёх букв. После выбора остаются две возможности для второго места. Последняя буква занимает третье место единственным способом: 3 × 2 × 1 = 6.
Для n различных предметов рассуждение сохраняется. Сначала доступны n вариантов, затем n − 1, затем n − 2. Когда предметы заканчиваются, получаем произведение n × (n − 1) × ... × 1, то есть n!.
Книги на полке
Задача: сколько существует порядков пяти различных книг на прямой полке? На первое место можно поставить любую книгу, на второе — любую из четырёх оставшихся. Продолжая выбор, получаем 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Считаются все порядки, включая исходный. Слово «перестановка» здесь не требует, чтобы каждая книга обязательно сменила место. Если оставить ряд как был, это тоже один из 120 результатов.
Вы снимаете книги с полки, решаете поставить их по цвету, затем по размеру и снова меняете порядок. На чтение пока не осталось времени. Для пяти разных томов полный перебор потребовал бы 120 расстановок, так что выбрать правило заранее гораздо быстрее.
Одинаковые буквы
Если часть элементов неразличима, некоторые перестановки дают одинаковую видимую запись. Возьмём буквы слова «МАМА»: две М и две А. Количество различных последовательностей равно 4!/(2! × 2!) = 6.
Их можно выписать полностью: ММАА, МАМА, МААМ, АММА, АМАМ, ААММ. Временные метки М₁ и М₂ позволили бы различить две буквы, но после удаления меток часть результатов совпадёт. Деление на 2! для каждой пары убирает повторения.
В более общем случае при n элементах с группами одинаковых размеров a, b и дальше используют n!/(a! × b! × ...). Размеры групп в сумме дают n. Если все элементы различны, каждая группа имеет размер 1, поэтому знаменатель равен единице.
Выбор части группы и разные роли
Факториалы встречаются и тогда, когда выбирают только часть предметов. Рассмотрим шесть участников и два разных поручения: вести маршрут и отвечать за снаряжение. Один человек получает только одно поручение.
Для первого поручения есть шесть кандидатов, для второго остаются пять. Получаем 6 × 5 = 30 назначений. Через факториалы то же число записывается как 6!/4! = 30; до конца цепочки 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 идти не требуется.
Друзья собираются в поход и уже выбрали, кто идёт. Потом начинается спор: кто читает карту, а кто несёт общее снаряжение. Состав компании остался прежним, однако распределение обязанностей меняет результат задачи.
Если из тех же шести участников нужно выбрать просто пару без разных ролей, назначений окажется вдвое меньше. Пара Аня и Борис совпадает с парой Борис и Аня. Поэтому 30 делят на 2! и получают 15 пар.
Три типа подсчёта
| Что делаем с различными предметами | Важен ли порядок | Число вариантов |
|---|---|---|
| Расставляем все n предметов в ряд | Да | n! |
| Выбираем k из n на разные места, без повторов | Да | n!/(n − k)! |
| Выбираем k из n в группу без порядка | Нет | n!/[k! × (n − k)!] |
В формулах выбора k — целое число от 0 до n. Вторая строка описывает размещения без повторений, третья — сочетания. Разница между ними возникает из-за k! порядков внутри одной выбранной группы.
Для выбора трёх из семи сочетаний будет 7!/(3! × 4!) = (7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1) = 35. Та же тройка может занять три разные должности уже 3! способами. Тогда назначений окажется 35 × 6 = 210.
Проверьте выбор тройки из семи в калькуляторе числа сочетаний: введите n = 7 и k = 3. Ответ 35 относится к группе без распределения разных ролей.
Граничные случаи тоже понятны. Выбрать никого можно одним способом: оставить пустую группу. Выбрать всех семерых в группу без порядка тоже можно одним способом. В формуле оба результата получаются благодаря 0! = 1.
Когда вместо факториала нужна степень
Теперь разрешим повторять символы. Код состоит из четырёх позиций, на каждой можно поставить любую из десяти цифр; ноль в начале разрешён. Для каждой позиции остаётся десять возможностей, поэтому кодов будет 10⁴ = 10 000.
Если повторять цифры запретить, вариантов станет 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040. Если дополнительно запретить ноль в начале, первая позиция даст девять вариантов. На второй позиции их снова девять: ноль теперь разрешён, а одна цифра уже занята. Затем остаётся восемь и семь вариантов, всего 9 × 9 × 8 × 7 = 4 536.
Условие о повторениях меняет весь расчёт. В задачах о кодах, словах и билетах поэтому сначала выписывают доступные символы и ограничения. Само наличие нескольких позиций ещё не указывает на одну определённую формулу.
Почему значения растут так быстро?
Каждый переход от n! к (n + 1)! умножает результат на n + 1. Значит, множитель роста тоже увеличивается. От 4! к 5! значение возрастает в пять раз, а от 9! к 10! — уже в десять.
Для сравнения: 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720. На одной линейной шкале первые столбцы оказываются низкими. Это свойство чисел, а не ошибка масштаба.
Масштаб хорошо виден на колоде из 52 карт. Выложить их в ряд можно 52! способами, а это число из 68 цифр, примерно 8,066 × 10⁶⁷.
Если в задаче требуется только отношение соседних значений, величина самих факториалов не мешает. Например, 101!/100! равно 101.
Откуда берутся нули в конце
Факториал 5! = 120 заканчивается нулём, потому что произведение содержит множители 2 и 5. Вместе они дают 10. Для каждого следующего конечного нуля нужна ещё одна такая пара.
В факториале двоек больше, чем пятёрок, поэтому считают именно пятёрки. До 20 включительно они приходят из чисел 5, 10, 15 и 20. Получается четыре конечных нуля у 20!.
В 25! нужно учесть дополнительную пятёрку внутри 25 = 5 × 5. Кратных пяти от 1 до 25 всего пять, а число 25 даёт ещё один множитель 5. Итого шесть конечных нулей.
Общее правило для количества нулей: складывают целые части n/5, n/25, n/125 и так далее. Деление продолжают, пока целая часть не станет нулевой. Это позволяет получить ответ без вычисления всего факториала. В калькуляторе нули 20! и 25! не увидеть: он покажет округлённую запись, например 2.433e+18 для 20!.
Точный результат и приближение
Большие числа программы иногда показывают в экспоненциальной записи. Например, запись 3,629 × 10⁶ означает округлённое число около 3 629 000. Точное значение 10! равно 3 628 800, поэтому последние цифры восстановить из короткого приближения нельзя.
Калькулятор в начале статьи считает до 170! и начиная с 18! переходит на такую запись. Для 18! он покажет 6.402e+15, то есть примерно 6,402 × 10¹⁵: точка заменяет запятую, а e+15 означает умножение на 10¹⁵.
Для оценки масштаба такое представление удобно. Если же задача требует точного количества вариантов, сохраняют точное выражение или используют вычисления с целыми нужной длины. При ручном решении часто достаточно записи через факториалы.
Где возникают ошибки
Знак ! легко узнать, но его свойства иногда путают с действиями над обычными числами. Особенно часто ошибка появляется при переносе скобок или при повторном применении операции. Два похожих выражения полезно проверить на небольших аргументах.
Ошибка 1: считать (a + b)! как a! + b!
Почему так нельзя: факториал суммы не распределяется по слагаемым. Уже при a = 2 и b = 3 получаем 5! = 120, тогда как 2! + 3! = 8.
Как не ошибиться: сначала вычислите выражение внутри скобок. Если оно содержит буквы, сохраните скобки и используйте подходящее свойство произведения.
Ошибка 2: принимать два знака ! за два применения подряд
Почему так нельзя: n!! обозначает двойной факториал с шагом 2. Например, 6!! = 6 × 4 × 2 = 48, а (3!)! = 6! = 720.
Как не ошибиться: различайте отдельное обозначение и вложенную операцию со скобками. Повторное применение к результату записывайте как (n!)!.
Определение через произведение от 1 до n относится к неотрицательным целым аргументам с отдельным значением для нуля. Для дробных аргументов в математическом анализе используют продолжение через гамма-функцию. По документации Wolfram, связь записывается как n! = Γ(n + 1).
Отрицательное целое число нельзя подставить в школьную цепочку множителей. Например, запись (−3)! в таком определении значения не имеет. Пытаться дойти от единицы до минус трёх обычным перечислением тоже не нужно.
Наконец, не путайте (−3)! и −(3!). Во втором выражении факториал вычисляют у положительной тройки, а затем меняют знак. Результат равен −6; скобки ещё раз показывают, где именно выполняется операция.
💡 Интересный факт
Название и знак появились в разное время. По данным Большой российской энциклопедии, термин «факториал» ввёл Луи Арбогаст в 1800 году, а обозначение n! — Кристиан Крамп в 1808 году. Историю записи n! также отмечает справочная документация Wolfram.
Источники: Большая российская энциклопедия, статья «Факториал»; Wolfram, Introductions to Factorial.
Проверьте себя на коротких задачах
В каждом задании сначала определите действие и запишите промежуточное выражение. Ответы раскрываются отдельно, чтобы можно было проверить ход решения без подсказки к следующему примеру. Калькулятор пригодится для проверки полученных числовых значений.
1. Чему равно 4! + 0!?
Ответ: 24 + 1 = 25. Нулевой аргумент даёт единицу.
2. Найдите (4 + 1)! и 4! + 1!. Совпадают ли ответы?
Ответ: первое выражение равно 5! = 120, второе — 24 + 1 = 25. Скобки меняют аргумент операции.
3. Вычислите 10!/8! без длинных произведений.
Ответ: раскройте числитель до общего факториала: (10 × 9 × 8!)/8! = 90. Общий множитель сокращается.
4. Сколько порядков у четырёх различных карточек?
Ответ: 4! = 24. Все карточки используются, порядок важен, повторений нет.
5. Сколькими способами выбрать двух из пяти человек в пару без разных ролей?
Ответ: 5 × 4 / 2! = 10. Каждая пара была посчитана в двух порядках.
6. Сколько нулей в конце 10!?
Ответ: два. Среди множителей есть 5 и 10, каждый даёт одну пятёрку; дополнительных пятёрок из кратных 25 ещё нет.
7. Решите n! = 1 в неотрицательных целых числах.
Ответ: n = 0 и n = 1. При n ≥ 2 факториал уже не меньше двух.
Если вычисления понятны, а выбор формулы в задаче пока затрудняет, полезна практика с разбором условий. Занятия с преподавателем можно найти в разделе математики для школьников.
Вывод
Факториал собирает последовательные множители в короткую запись и считает порядки различных предметов. В дробях сокращайте общий факториал до вычисления больших чисел, а результат проверяйте на небольшом примере. Начните с 7! = 5 040 и проверьте своё значение в калькуляторе.