Калькулятор числа сочетаний

Онлайн-калькулятор сочетаний вычисляет число способов выбрать k элементов из n без учёта порядка по формуле C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Это базовая величина комбинаторики, известная также как «биномиальный коэффициент» или «C из n по k». Используется в задачах теории вероятностей, статистики, генетики, программирования, лотерей и покера.

Калькулятор работает с большими числами через BigInt — точный результат без потери точности до n = 1000 (например, C(1000, 500) — это число из 300+ цифр). Покажет формулу, подставит ваши значения, выведет пошаговое решение для проверки. Бесплатно, без регистрации, все вычисления — в браузере.

Сочетания — порядок НЕ важен. Выбрать 3 из 10 → C(10, 3) = 120. Команда из Ани, Бори и Вики — это та же команда, что Боря, Аня и Вика. Перестановки — порядок важен, расставить 3 из 10 по местам → A(10, 3) = 720, A(n, k). Если k = n (перестановка всех элементов) — это просто факториал n!.

Простое правило выбора формулы: если в задаче важен порядок (рассадка по местам, очерёдность забегов, позиции в призовой тройке) — это размещения или перестановки. Если порядок не важен (состав команды, набор товаров в корзине, выпавшие шары в лотерее без сегмента) — это сочетания.

Лотереи. Сколько комбинаций в лотерее «5 из 36»? C(36, 5) = 376 992. Шанс джекпота — 1/376 992. Для «6 из 49» (Спортлото): C(49, 6) = 13 983 816 — отсюда 1 шанс на 14 миллионов.

Покер. Сколько 5-карточных комбинаций в стандартной колоде 52 карты? C(52, 5) = 2 598 960. Из них всего 4 роял-флеша, 36 стрит-флешей, 624 каре. Шансы получения рассчитываются как (комбинаций нужного типа) / 2 598 960.

Биология. Сколько подмножеств размером 3 в наборе из 12 хромосом? C(12, 3) = 220 — столько способов выбрать гены для скрещивания.

Статистика. Биномиальные коэффициенты C(n, k) — основа биномиального распределения и треугольника Паскаля. (a+b)^n = Σ C(n, k) × a^(n−k) × b^k.

Программирование. Перебор подмножеств размера k из n элементов, генерация комбинаций — задачи на собеседованиях (LeetCode, CodeWars, олимпиадные).

Симметрия: C(n, k) = C(n, n−k). Например, C(10, 3) = C(10, 7) = 120. Это удобно: чтобы посчитать C(100, 95), достаточно посчитать C(100, 5) = 75 287 520.

Сумма всех сочетаний: C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2^n. Это число всех подмножеств множества из n элементов.

Граничные случаи: C(n, 0) = 1 (одно «пустое» сочетание), C(n, n) = 1 (одно «полное»), C(n, 1) = n. По правилу Паскаля: C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) — это рекурсия для треугольника Паскаля.

Шаг 1. Запишите формулу: C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Шаг 2. Подставьте свои числа. Шаг 3. Сократите факториалы. Хитрый приём: n! / (n−k)! = n × (n−1) × … × (n−k+1) — это умножение k чисел подряд от n вниз. Например, 26! / 21! = 22 × 23 × 24 × 25 × 26 = 7 893 600.

Затем разделите на k!. Для C(26, 5): 7 893 600 / 5! = 7 893 600 / 120 = 65 780. Так считать в несколько раз быстрее, чем разворачивать факториал полностью. Этот же метод использует калькулятор внутри, чтобы избежать переполнения.