Калькулятор числа сочетаний
Расчет числа сочетаний из n по k без повторений с формулами и примерами
Калькулятор сочетаний (C из n по k) онлайн
Калькулятор вычисляет число сочетаний C(n, k) — количество способов выбрать k элементов из n без учёта порядка. Формула: C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!).
Пример: из 10 человек выбрать команду из 3 → C(10,3) = 120 вариантов. Порядок не важен — {Аня, Боря, Вика} = {Вика, Аня, Боря}.
- Расчёт C(n, k) для любых n и k
- Пошаговое решение с формулой
- Расчёт с повторениями
- Таблица сочетаний (треугольник Паскаля)
Сочетания vs перестановки
Сочетания — порядок НЕ важен: выбрать 3 из 10 → C(10,3) = 120. Перестановки — порядок важен: расставить 3 из 10 по местам → A(10,3) = 720. A(n,k) = C(n,k) × k!.
Простое правило: если вопрос «сколькими способами выбрать» — сочетания. Если «сколькими способами расставить/упорядочить» — перестановки.
Где применяется
Лотереи: сколько комбинаций в «6 из 45» → C(45,6) = 8 145 060. Вероятность выигрыша: 1 из 8,1 млн. Статистика: выбрать k объектов для выборки из n генеральной совокупности.
Комбинаторика: задачи на подсчёт вариантов. Биология: генетические комбинации. Покер: сколько вариантов руки из 5 карт → C(52,5) = 2 598 960.
Пример: лотерея «6 из 45»
В лотерее нужно угадать 6 чисел из 45. Какова вероятность выигрыша?
C(45,6) = 45! / (6! × 39!)
Считаем: (45×44×43×42×41×40) / (6×5×4×3×2×1)
= 5 864 443 200 / 720 = 8 145 060
Вероятность: 1 / 8 145 060 ≈ 0,0000123%
Вероятность джекпота — 1 из 8 145 060 (0,0000123%). Если покупать по билету в день, в среднем выиграете через 22 315 лет.
Знаете ли вы?
Треугольник Паскаля — таблица, где каждое число = сумме двух чисел над ним. Строка n содержит все C(n,k). Его знали за 500 лет до Паскаля — в Китае (треугольник Яна Хуэя, 1261).
В покере C(52,5) = 2 598 960 комбинаций из 5 карт. Из них флеш-рояль — всего 4 комбинации. Вероятность: 1 из 649 740.
C(n, k) = C(n, n−k) — симметрия. Выбрать 3 из 10 = оставить 7 из 10. Поэтому C(10,3) = C(10,7) = 120.
Формулу сочетаний первым записал индийский математик Махавира в IX веке. Европейцы «открыли» её только в XVII веке.
В генетике: у человека 23 пары хромосом. Число комбинаций при мейозе: 2²³ = 8 388 608. А с учётом кроссинговера — практически бесконечно.
C(2n, n) — центральный биномиальный коэффициент — растёт примерно как 4ⁿ/√(πn). C(20,10) = 184 756, C(40,20) ≈ 137 миллиардов.
Популярные сочетания
| Задача | Формула | Результат |
|---|---|---|
| Лотерея 5 из 36 | C(36,5) | 376 992 |
| Лотерея 6 из 45 | C(45,6) | 8 145 060 |
| Покер (рука из 5) | C(52,5) | 2 598 960 |
| Команда 5 из 20 | C(20,5) | 15 504 |
| Пара из 10 человек | C(10,2) | 45 |
| Рукопожатия 30 человек | C(30,2) | 435 |
Как отличить сочетания от перестановок
Задайте себе вопрос: «Если поменять элементы местами — это тот же вариант?» Да → сочетания (C). Нет → перестановки (A). Пример: выбрать 3 книги = сочетания. Расставить 3 книги на полке = перестановки.
Как вычислить сочетания
Введите n и k
n — общее количество элементов. k — сколько нужно выбрать. k ≤ n.
Получите результат
C(n,k) — количество сочетаний. Пошаговое решение с промежуточными вычислениями.
Примеры
🎲 Лотерея
C(45,6) = 8 145 060. Вероятность джекпота: 1 из 8,1 млн.
👥 Команда
Из 15 кандидатов выбрать 4. C(15,4) = 1 365 вариантов.
🤝 Рукопожатия
20 человек пожали руки. C(20,2) = 190 рукопожатий.
📚 Выбор книг
Из 8 книг выбрать 3 для отпуска. C(8,3) = 56 вариантов.
Частые вопросы
Чем сочетания отличаются от перестановок?
Что такое C(n,0) и C(n,n)?
Как считать большие факториалы?
Что такое сочетания с повторениями?
Данные отправляются на сервер?
Полезная информация
Все расчёты в браузере — данные не отправляются на сервер.
Калькулятор поддерживает значения n до 1000 и показывает точный результат.
Комментарии (1)
🔢Похожие инструменты
Калькулятор сочетаний с повторениями
Расчет числа сочетаний с повторениями по формуле C(n+k-1,k) с пошаговым решением
Калькулятор размещений
Расчет количества размещений без повторений по формуле A(n,k) = n!/(n-k)!
Размещения с повторениями
Расчет количества размещений с повторениями из n элементов по k
Калькулятор числа перестановок
Расчет количества перестановок n элементов через факториал
Калькулятор числовых комбинаций
Расчет количества чисел, которые можно составить из заданных цифр
Калькулятор простых чисел
Проверка чисел на простоту с разложением на простые множители
Разложение на простые множители
Разложение натуральных чисел на простые множители с пошаговым решением
Калькулятор НОД и НОК
Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного с пошаговым решением