🔢

Калькулятор простых чисел

Проверка числа до 19 цифр на простоту: разложение составного на простые множители и соседние простые числа

Открывали 1 276 раз

Примеры:

Инструмент справился с вашей задачей?

Одно нажатие, без регистрации. По ответам мы решаем, какие инструменты дорабатывать первыми.

Уже ответили: 9 человек

Этот инструмент ещё ждёт первого комментария

Нашли приём, остался вопрос или чего-то не хватило — напишите, пригодится следующим. Почту и пароль указывать не нужно · публикуем после проверки, обычно за 1–2 дня · если вам ответят, ответ появится здесь же

Что такое простые числа

Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Примеры: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Число 1 не считается простым, так как имеет только один делитель. Число 2 — единственное чётное простое число, все остальные простые числа нечётные. Простые числа — фундамент теории чисел и играют ключевую роль в современной криптографии, защите данных, алгоритмах шифрования (RSA). Проверка числа на простоту — базовая операция в программировании и математике, и для больших чисел существуют специальные быстрые алгоритмы.

Как работает проверка

Вы вводите натуральное число, и инструмент определяет, простое ли оно. Для небольших чисел проверка сводится к делению на простые числа от 2 до квадратного корня из числа — быстрый и наглядный метод. Для больших чисел применяется детерминированный тест Миллера–Рабина: он даёт точный (не вероятностный) ответ за миллисекунды для чисел вплоть до 19 цифр, а разложение составных чисел на множители выполняется алгоритмом Полларда «ро». Если число составное, инструмент показывает его разложение на простые множители со степенями, количество делителей и ближайшие простые числа. Для простого числа отображается дополнительная информация: его порядковый номер среди простых (для чисел до 2 000 000), предыдущее и следующее простое, особые свойства (числа-близнецы, простые Мерсенна).

Кому нужна проверка

Школьникам 5–8 классов — при изучении темы «Делимость чисел» и выполнении домашних заданий. Учителям математики — для подготовки примеров на уроках. Студентам IT и математических специальностей — при изучении теории чисел и криптографии. Программистам — при решении задач на Codeforces, LeetCode и других платформах. Олимпиадникам — при решении задач по теории чисел.

💡

Пример из жизни

Ученик 7 класса решает задачу по математике: «Является ли число 997 простым?» Не помнит, как быстро это проверить, и хочет удостовериться, что решение правильное.

Вводит число 997 в проверку на простоту.

Получает ответ: да, 997 — простое число, 168-е по счёту. Ближайшие простые: 991 (предыдущее) и 1009 (следующее).

Смотрит подсказку: чтобы проверить, достаточно разделить на простые числа до √997 ≈ 31,6, то есть 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Ни одно не делит — значит, простое.

✅

Понимает методику проверки и в следующий раз проверяет число сам, а инструментом только сверяет ответ.

🧠

Знаете ли вы?

🔢

Количество простых чисел бесконечно — это доказал Евклид в III веке до нашей эры в своих «Началах».

🎯

Самое большое известное простое число — 2^136279841 − 1: в нём 41 024 320 цифр. Его нашли в октябре 2024 года в проекте распределённых вычислений GIMPS.

🔐

Современная криптография RSA основана на том, что перемножение двух больших простых чисел — легко, а обратное разложение — практически невозможно.

📉

Плотность простых чисел уменьшается: среди первых 100 их 25, среди первой тысячи — 168, среди миллиона — 78 498.

👯

Простые числа-близнецы — это пары простых чисел, отличающиеся на 2 (например, 11 и 13, 17 и 19). Существует ли их бесконечно — одна из нерешённых проблем математики.

🏆

Фонд EFF обещает денежные премии за первое найденное простое число из 100 миллионов цифр (150 тысяч долларов) и из миллиарда цифр (250 тысяч долларов).

Простые числа до 100

Десятки	Простые числа
1–10	2, 3, 5, 7
11–20	11, 13, 17, 19
21–30	23, 29
31–50	31, 37, 41, 43, 47
51–70	53, 59, 61, 67
71–100	71, 73, 79, 83, 89, 97

💡

Важно знать

Чтобы быстро проверить число N на простоту, достаточно проверить его делимость на простые числа от 2 до √N. Если ни одно не делит — число простое. Например, для 100 достаточно проверить 2, 3, 5, 7 — это сильно экономит время.

Как использовать Калькулятор простых чисел

Шаг 1. Введите число

Введите натуральное число до 19 цифр — разряды можно разделять пробелами — или нажмите один из примеров.

Шаг 2. Запустите проверку

Инструмент мгновенно определит, простое ли число.

Шаг 3. Изучите результат

Если число составное — получите разложение. Если простое — дополнительную информацию.

Шаг 4. Поэкспериментируйте

Попробуйте разные числа, чтобы понять закономерности.

Примеры использования

Классический пример

997 → простое, 168-е по счёту.

Составное

100 → не простое, 2² × 5².

Близнецы

11 и 13 — простые числа-близнецы.

Большое число

1 000 003 → простое.

Очевидное

2 → простое, единственное чётное простое.

Часто задаваемые вопросы

Почему 1 не считается простым?

По определению, простое число имеет ровно два делителя — 1 и само себя. У числа 1 только один делитель, поэтому оно не простое и не составное.

Является ли 2 простым?

Да, 2 — единственное чётное простое число. Все остальные чётные числа делятся на 2 и поэтому составные.

Как проверить простоту большого числа?

Для небольших чисел достаточно деления на простые до √N. Для больших инструмент использует детерминированный тест Миллера–Рабина — он даёт точный ответ за миллисекунды для чисел вплоть до 19 цифр (это не приближение, а гарантированный результат для данного диапазона). Разложение составных чисел на множители выполняется алгоритмом Полларда «ро».

Что делать с разложением составного числа?

Разложение показывает все простые множители и их степени. Например, 100 = 2² × 5². Это нужно для сокращения дробей, нахождения НОД и НОК.

Какое самое маленькое простое число?

2 — самое маленькое простое число и единственное чётное. Следующие: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

Есть ли формула для простых чисел?

Удобной формулы, которая выдавала бы все простые числа и только их, нет. Сколько простых не больше x, приближённо говорит теорема о распределении простых чисел: π(x) ≈ x / ln x (доказана в 1896 году Адамаром и Валле-Пуссеном). Числа Мерсенна 2ⁿ − 1 бывают простыми лишь иногда: 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89.

Полезная информация

🔒 Числа, которые вы проверяете, не сохраняются на сервере — все вычисления выполняются прямо в браузере.

📋 Для ускорения ручной проверки запомните признаки делимости: на 2 — чётное число, на 3 — сумма цифр делится на 3, на 5 — заканчивается на 0 или 5. Это быстро отсеивает большинство составных чисел.

Калькуляторы по теории чисел

Разложение на множители, делители, НОД и НОК, таблицы и суммы простых — продолжите работу с числами в смежных инструментах ToolFox.

Разложение на простые множители

Разложите число до 18 цифр на простые множители со степенями.

Все делители числа

Полный список делителей числа и их количество.

НОД и НОК

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

Таблица простых чисел

Списки простых чисел до 100, 1 000 и далее — до 1 000 000.

Взаимно простые числа

Проверка, что у чисел нет общих делителей, кроме 1.

Сумма простых чисел

Сумма всех простых чисел до заданного предела.

Руслан АвдеевОт автора проекта
Все инструменты на ToolFox бесплатны, и я их дорабатываю сам. Напишите, если инструмент считает неверно, чего-то не хватает или что-то стоит поправить, — по таким комментариям я и решаю, чем заняться дальше.

Комментарии — мнения посетителей, прошедшие проверку по правилам сайта.